(2013•鹽城二模)如圖,在海岸線l一側(cè)C處有一個(gè)美麗的小島,某旅游公司為方便游客,在l上設(shè)立了A、B兩個(gè)報(bào)名點(diǎn),滿足A、B、C中任意兩點(diǎn)間的距離為10千米.公司擬按以下思路運(yùn)作:先將A、B兩處游客分別乘車(chē)集中到AB之間的中轉(zhuǎn)點(diǎn)D處(點(diǎn)D異于A、B兩點(diǎn)),然后乘同一艘游輪前往C島.據(jù)統(tǒng)計(jì),每批游客A處需發(fā)車(chē)2輛,B處需發(fā)車(chē)4輛,每輛汽車(chē)每千米耗費(fèi)2元,游輪每千米耗費(fèi)12元.設(shè)∠CDA=α,每批游客從各自報(bào)名點(diǎn)到C島所需運(yùn)輸成本S元.
(1)寫(xiě)出S關(guān)于α的函數(shù)表達(dá)式,并指出α的取值范圍;
(2)問(wèn)中轉(zhuǎn)點(diǎn)D距離A處多遠(yuǎn)時(shí),S最小?
分析:(1)由題在△ACD中,由余弦定理求得CD、AD的值,即可求得運(yùn)輸成本S的解析式.
(2)利用導(dǎo)數(shù)求得cosα=
1
3
時(shí),函數(shù)S取得極小值,由此可得中轉(zhuǎn)點(diǎn)D到A的距離以及S的最小值.
解答:解:(1)由題在△ACD中,∵∠CAD=∠ABC=∠ACB=
π
3
,∠CDA=α,∴∠ACD=
3
-α.
又AB=BC=CA=10,△ACD中,
由正弦定理知
CD
sin
π
3
=
AD
sin(
3
-α)
=
10
sinα
,得 CD=
5
3
sinα
,AD=
10sin(
3
-α)
sinα
,…(3分)
S=4AD+8BD+12CD=12CD-4AD+80=
60
3
-40sin(
3
-α)
sinα
+80

=20
3
3-cosα
sinα
+60(
π
3
<x<
3
)
.…(7分)
(2)S=20
3
1-3cosα
sin2α
,令S′=0,得cosα=
1
3
.…(10分)
當(dāng)cosα>
1
3
時(shí),S′<0;當(dāng)cosα<
1
3
時(shí),S′>0,∴當(dāng)cosα=
1
3
時(shí)S取得最小值.…(12分)
此時(shí),sinα=
2
2
3
,AD=
5
3
cosα+5sinα
sinα
=5+
5
6
4

∴中轉(zhuǎn)站距A處
20+5
6
4
千米時(shí),運(yùn)輸成本S最。14分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查正弦定理,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,由函數(shù)的單調(diào)性求極值,屬于中檔題.
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2013
6
)
的值為
5
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x2
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+
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=1
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2
2
2
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4
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