Question

已知函數(shù)f（x）=mx+（m，n∈Z），曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y=3．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=aln（x-1）（a＞0），若函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，可得，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y=3
∴f（2）=3，f′（2）=0
∴，
∴或，
由于m，n∈Z，所以，則． （4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（x）=aln（x-1）+，定義域?yàn)椋?，+∞），F(xiàn)′（x）=，由于a＞0，
令F′（x）=0，得，
當(dāng)x∈時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，知F（x）在x∈時(shí)單調(diào)遞減，
同理，F(xiàn)（x）在x∈時(shí)單調(diào)遞增
所以F（x）min=F=a-alna
令a-alna＜0，即a＞e時(shí)，函數(shù)F（x）=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根
所以a的取值范圍是（a，+∞）
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y=3，建立方程，可求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（x）=aln（x-1）+，定義域?yàn)椋?，+∞），F(xiàn)′（x）=，確定函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最小值，由此即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)．