Question

已知圓C通過(guò)不同的三點(diǎn)P（m，0）、Q（2，0）、R（0，1），PQ為直徑且PC的斜率為-1．
（1）試求⊙C的方程；
（2）過(guò)原點(diǎn)O作兩條互相垂直的直線(xiàn)l₁，l₂，l₁交⊙C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，l₂交⊙C于G，H兩點(diǎn)，求四邊形EGFH面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)出圓的一般方程，表示出圓心坐標(biāo)即可表示出CP的斜率等于-1列出④，然后分別把Q和R點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程得到①和②，根據(jù)PQ為直徑，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到③，聯(lián)立①②③④即可求出D、E、F得到⊙C的方程；
（2）設(shè)圓心到l₁，l₂的距離分別為d₁，d₂，根據(jù)垂徑定理求出距離的平方和及勾股定理得到EF²+GH²=74≥2EF•GH，而因?yàn)樗倪呅蔚膶?duì)角線(xiàn)互相垂直得四邊形的面積S=

1

2

EF•GH，代入即可求出面積的最大值．

解答：解：（1）設(shè)圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

D

2

，-

E

2

），且PC的斜率為-1，
因?yàn)閳AC通過(guò)不同的三點(diǎn)P（m，0），Q（2，0），R（0，1）
所以有

1+E+F=0 4+2D+F=0 - D 2 = 2+m 2 - E 2 -0 - D 2 -m =-1

解之得

D=1 E=5 F=-6 m=-3

所以圓C的方程為x²+y²+x+5y-6=0，．
（2）圓心C(-

1

2

，-

5

2

)，設(shè)圓心到l₁，l₂的距離分別為d₁，d₂，
則d12+d22=OC2=

13

2

，
又(

EF

2

)2+d12=R2，(

GH

2

)2+d22=R2，
兩式相加，得：EF²+GH²=37≥2EF•GH，
∴S=

1

2

EF•GH≤

37

2

，即（S_{四邊形EFGH}）_max=

37

4

．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)根據(jù)條件求圓的一般方程，靈活運(yùn)用垂徑定理及勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式化簡(jiǎn)求值．掌握四邊形對(duì)角線(xiàn)垂直時(shí)面積等于對(duì)角線(xiàn)乘積的一半．以及會(huì)利用基本不等式求函數(shù)的最值．