Question

定義在[-1，-1]上的偶函數(shù)f（x），當x∈[-1，0]時，f（x）=

1

4x

-

a

2x

（a∈R）．
（1）寫出f（x）在[0，1]上的解析式；
（2）求出f（x）在[0，1]上的最大值；
（3）若f（x）是[0，1]上的增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設x∈[0，1]，則-x∈[-1，0]，由條件可得f（-x）的解析式．再由f（-x）=f（x），可得f（x）的解析式．
（2）令t=2^x，則t∈[1，2]，故有f（x）=g（t）=t²-at=(t-

a

2

)2-

a2

4

，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得g（t）的最大值．
（3）由于f（x）是[0，1]上的增函數(shù)，可得g（t）=t²-at=(t-

a

2

)2-

a2

4

在[1，2]上單調(diào)遞增，故有

a

2

≤1，由此求得實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）設x∈[0，1]，則-x∈[-1，0]，由題意可得f（-x）=

1

4-x

-

a

2-x

=4^x-a•2^x．
再由f（x）為偶函數(shù)，可得f（-x）=f（x），
故有f（x）=4^x-a•2^x，x∈[0，1]．
（2）令t=2^x，∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]，故有f（x）=g（t）=t²-at=(t-

a

2

)2-

a2

4

，
顯然，g（t）是二次函數(shù)，對稱軸為t=

a

2

，圖象開口向上．
當

a

2

≤

3

2

時，即a≤3時，g（t）的最大值為g（2）=4-2a；
當

a

2

＞

3

2

時，即a＞3時，g（t）的最大值為g（1）=1-a．
綜上可得，a≤3時，g（t）的最大值為4-2a；a＞3時，g（t）的最大值為1-a．
（3）由于f（x）是[0，1]上的增函數(shù)，故g（t）=t²-at=(t-

a

2

)2-

a2

4

在[1，2]上單調(diào)遞增，
故有

a

2

≤1，解得a≤2，故實數(shù)a的取值范圍為（-∞，2]．

點評：本題主要考查求函數(shù)的解析式，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，函數(shù)的單調(diào)性的應用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．