Question

已知(

x

+

1

2 4 x

)n展開(kāi)式的前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列．則（1）n=

8

；（2）展開(kāi)式的一次項(xiàng)是

35x

8

；（3）展開(kāi)式中的有理項(xiàng)是

x⁴，

35

8

x，

1

256

x^-2

．

Answer 1

分析：首先利用二項(xiàng)展開(kāi)式的前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，由等差數(shù)列的特性列出關(guān)于n的方程，求出n的值，然后寫(xiě)出通項(xiàng)公式并進(jìn)行化簡(jiǎn)，令字母的指數(shù)符合所需要的條件，從而確定特定項(xiàng)．

解答：解：（1）∵(

x

+

1

2 4 x

)n展開(kāi)式的前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，
∴

C

0 n

+

C

2 n

(

1

2

)2=2

C

1 n

×

1

2

，
∴1+

n(n-1)

2

×

1

4

=n，
整理得n²-9n+8=0，n₁=1（舍去），n₂=8，
∴n=8．
（2）∵T_r+1=

C

r 8

(

x

)8-r×(

1

2

)rx-

r

4

=(

1

2

)r

C

r 8

x4-

3

4

r，
∴令4-

3

4

r=1得r=4．
∴T₅=(

1

2

)4

C

4 8

x=

1

16

×

8×7×6×5

4×3×2×1

x=

35

8

x，
∴展開(kāi)式的一次項(xiàng)是

35

8

x．
（3）當(dāng)令4-

3

4

r∈Z時(shí)，T_r+1為有理項(xiàng)，因?yàn)?≤r≤8且r∈Z，
所以r=0，4，8符合要求．
故有理項(xiàng)有3項(xiàng)，分別是T₁=x⁴，T₅=

35

8

x，T₉=

1

256

x^-2．
故答案為（1）8；（2）

35

8

x；（3）x⁴，

35

8

x，

1

256

x^-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查方程思想與運(yùn)算能力，屬于中檔題．