Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²-2（a-2）-b²+16=0．
（1）若a、b是一枚骰子擲兩次所得到的點(diǎn)數(shù)，求方程有兩正根的概率；
（2）若a∈[2，4]，b∈[0，6]，求方程沒(méi)有實(shí)根的概率．

Answer 1

分析：（1）本題是一個(gè)古典概型，用（a，b）表示一枚骰子投擲兩次所得到的點(diǎn)數(shù)的事件，基本事件（a，b）的總數(shù)有36個(gè)，
滿足條件的事件是二次方程x²-2（a-2）x-b²+16=0有兩正根，根據(jù)實(shí)根分布得到關(guān)系式，即可得到概率．
（2）本題是一個(gè)幾何概型，試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，
滿足條件的事件為：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a-2）²+b²＜16}，求出兩者的面積，即可得到概率．

解答：解：設(shè)“方程有兩個(gè)正根”的事件為A，
（1）由題意知本題是一個(gè)古典概型用（a，b）表示一枚骰子投擲兩次所得到的點(diǎn)數(shù)的事件
依題意知，基本事件（a，b）的總數(shù)有36個(gè)，
二次方程x²-2（a-2）x-b²+16=0有兩正根，等價(jià)于

a-2＞0 16-b2＞0 △=4(a-2)2+4(b2-16)≥0

，即

a＞2 -4＜b＜4 (a-2)2+b2≥16

，
則事件A包含的基本事件為（6，1）、（6，2）、（6，3）、（5，3）共4個(gè)
∴所求的概率為P（A）=

1

9

；
（2）由題意知本題是一個(gè)幾何概型，
試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω={（a，b）|2≤a≤4，0≤b≤6}，
其面積為S（Ω）=12
滿足條件的事件為：B={（a，b）|2≤a≤4，0≤b≤6，（a-2）²+b²＜16}，如圖中陰影部分所示，
其面積為S（B）=

1

2

×

π

6

×4×4+

1

2

×2×

42-22

=

4π

3

+2

3

∴所求的概率P（B）=

2π+3 3

18

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概型和幾何概型，幾何概型和古典概型是高中必修中學(xué)習(xí)的，高考時(shí)常以選擇和填空出現(xiàn)，有時(shí)文科會(huì)考這種類型的解答題目．