Question

在汶川大地震后對唐家山堰塞湖的搶險過程中，武警官兵準(zhǔn)備用射擊的方法引爆從湖壩上游漂流而下的一個巨大的汽油罐．已知只有5發(fā)子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射擊是相互獨立的，且命中的概率都是

2

3

．
（Ⅰ）求油罐被引爆的概率；
（Ⅱ）如果引爆或子彈打光則停止射擊，設(shè)射擊次數(shù)為ξ．求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E（ξ）．（ 結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知每次命中與否互相獨立．且每次射擊命中的概率都是

2

3

，本試驗是一個獨立重復(fù)試驗，先求出油罐不能被引爆的概率，然后利用1減不能引爆的概率即可得到答案．
（II）射擊次數(shù)ξ的可能取值為2，3，4，5．當(dāng)ξ=2時，表示兩槍都擊中，當(dāng)ξ=3時，表示前兩槍中有一槍擊中且第三槍一定擊中，當(dāng)ξ=4時，表示前三槍中有一槍擊中且第四槍一定擊中，當(dāng)ξ=5時，應(yīng)該表示前四槍中有一槍擊中且第五槍一定擊中或前四槍中有一槍中且第五槍不中或前四槍不中且第五槍中或五槍都不中四種情況，寫出分布列．

解答：解：（I）設(shè)命中油罐的次數(shù)為X，則當(dāng)X=0或X=1時，油罐不能被引爆．
P(X=0)=(1-

2

3

)5=

1

243

，
P(X=1)=

C

1 5

×

2

3

×(1-

2

3

)4=

10

243

，
∴油罐被引爆的概率P=1-P(X=0)-P(X=1)=

232

243

．…(6分)
（II）射擊次數(shù)ξ的取值為2，3，4，5．
P(ξ=2)=

2

3

×

2

3

=

4

9

，
P(ξ=3)=

C

1 2

×

2

3

(1-

2

3

)×

2

3

=

8

27

，
P(ξ=4)=

C

1 3

×

2

3

(1-

2

3

)2×

2

3

=

4

27

，
P（ξ=5）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）-P（ξ=4）
=1-(

4

9

+

8

27

+

4

27

)=

1

9

．
因此，ξ的分布列為：

ξ	2	3	4	5
P	4 9	8 27	4 27	1 9

∴Eξ=2×

4

9

+3×

8

27

+4×

4

27

+5×

1

9

=

79

27

．…(14分)

點評：考查運用概率知識解決實際問題的能力，注意滿足獨立重復(fù)試驗的條件，解題過程中判斷概率的類型是難點也是重點，這種題目高考必考，應(yīng)注意解題的格式．