Question

已知函數(shù)f（x）=lnx與g（x）=kx+b（k，b∈R）的圖象交于P，Q兩點，曲線y=f（x）在P，Q兩點處的切線交于點A．
（Ⅰ）當k=e，b=-3時，求f（x）-g（x）的最大值；（e為自然常數(shù)）
（Ⅱ）若A（，），求實數(shù)k，b的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）構(gòu)建新函數(shù)，求導函數(shù)，利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的最大值；
（Ⅱ）先求出切線方程，代入A的坐標，進而求出P，Q的坐標，即可求實數(shù)k，b的值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=lnx-ex+3（x＞0），
則，----（1分）
當時，h′（x）＞0，此時函數(shù)h（x）為增函數(shù)；
當時，h′（x）＜0，此時函數(shù)h（x）為減函數(shù)．
所以函數(shù)h（x）的增區(qū)間為，減區(qū)間為．
∴時，f（x）-g（x）的最大值為；----（4分）
（Ⅱ）設(shè)過點A的直線l與函數(shù)f（x）=lnx切于點（x，lnx），則其斜率，
故切線，
將點代入直線l方程得：，
即，----（7分）
設(shè)，則，
當時，v′（x）＜0，函數(shù)v（x）為增函數(shù)；
當時，v′（x）＞0，函數(shù)v（x）為減函數(shù)．
故方程v（x）=0至多有兩個實根，----（10分）
又v（1）=v（e）=0，所以方程v（x）=0的兩個實根為1和e，
故P（1，0），Q（e，1），
所以為所求．----（12分）
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查導數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)，正確運用導數(shù)知識．