Question

11．已知向量$\overrightarrow m=（{2sinx，1}），\overrightarrow n=（{sinx+\sqrt{3}cosx，-3}），x∈R$，函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）設(shè)銳角△ABC內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f（A）=2，$a=\sqrt{7}，b=3$，求角A和邊c的值．

Answer 1

分析 （I）利用平面向量數(shù)量積的運算，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=$2sin（2x-\frac{π}{6}）$，利用三角函數(shù)的周期公式即可得解．
（II）由（I）知可得$sin（2A-\frac{π}{6}）=1$，結(jié)合A的范圍可求$A=\frac{π}{3}$，解法一：由余弦定理解得c的值，解法二：由正弦定理解得sinB，由B是銳角，可求cosB，利用三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinC，根據(jù)正弦定理即可解得c的值．

解答 解：（I）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+2=$2sinx（sinx+\sqrt{3}cosx）-3+2$…（2分）
=$2{sin^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx-1$
=$\sqrt{3}sin2x-cos2x$…（4分）
=$2sin（2x-\frac{π}{6}）$…（5分）
∴f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$…（6分）
（II）由（I）知$f（A）=2sin（2A-\frac{π}{6}）=2$，解得$sin（2A-\frac{π}{6}）=1$．…（7分）
∵$A∈（{0，\frac{π}{2}}），\;∴2A-\frac{π}{6}∈（{-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}）$，
∴$2A-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，∴$A=\frac{π}{3}$．…（9分）
解法一：由余弦定理得${a^2}={3^2}+{c^2}-2×3c×cos\frac{π}{3}$=c²-3c+9=7．
解得c=1或c=2．…（10分）
若c=1，則$cosB=\frac{{{1^2}+{{（{\sqrt{7}}）}^2}-{3^2}}}{{2×1×\sqrt{7}}}$＜0，
∴B為鈍角，這與△ABC為銳角三角形不符，c≠1．…（11分）
∴c=2．…（12分）
解法二：由正弦定理得$\frac{3}{sinB}=\frac{{\sqrt{7}}}{{sin\frac{π}{3}}}$，解得$sinB=\frac{{3\sqrt{21}}}{14}$…（10分）
∵B是銳角，∴$cosB=\sqrt{1-{{sin}^2}B}=\frac{{\sqrt{7}}}{14}$，
∵C=π-（A+B），
∴$sinC=sin（A+B）=sin（\frac{π}{3}+B）=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，…（11分）
∴$\frac{c}{{\frac{{\sqrt{21}}}{7}}}=\frac{{\sqrt{7}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}$，解得c=2．…（12分）

點評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)的周期公式，余弦定理，正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了計算能力，屬于中檔題．