Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，tanA=

1

2

，cosB=

3 10

10

．若△ABC最長的邊為1，則最短邊的長為（　�。�

• A．

  2 5

  5

• B．

  3 5

  5

• C．

  4 5

  5

• D．

  5

  5

Answer 1

分析：由cosB的值大于0，得到B為銳角，然后利用同角三角函數間的基本關系求出tanB的值，然后利用誘導公式化簡tanC，再利用兩角和的正切函數公式化簡，把tanA和tanB的值代入即可求出tanC的值，由C的范圍，利用特殊角的三角函數值求出C的度數，發(fā)現C為鈍角，即為三角形的最大角，故c=1，再由tanA大于tanB及正切函數為增函數，得到b最短，利用同角三角函數間的基本關系分別求出sinB和sinC的值，再由c的值，利用正弦定理即可求出b的長，即為最短邊的長．

解答：解：由cosB=

3 10

10

＞0，所以B為銳角．
∴tanB=

1 cos2B -1

=

1

3

，又tanA=

1

2

，
tanC=tan(π-A-B)=-tan(A+B)=-

tanA+tanB

1-tanA•tanB

=-1，
由C為三角形的內角，得到∠C=135°，
故c邊最長，即c=1，
又tanA＞tanB，故b邊最短，
∵sinB=

1-cos2B

=

10

10

，sinC=sin135°=

2

2

，又c=1，
∴由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

得：
b=

csinB

sinC

=

5

5

，即最短邊的長為

5

5

．
故選D．

點評：此題考查了同角三角函數間的基本關系，以及正弦定理．要求學生熟練掌握同角三角函數間的基本關系及正弦定理，同時注意角度的范圍．