Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)的和為S_n，數(shù)列{an2}的前n項(xiàng)的和為T(mén)_n，且(Sn-2)2+3Tn=4，n∈N*．
（1）證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并寫(xiě)出通項(xiàng)公式；
（2）若Sn2-λTn＜0對(duì)n∈N^*恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用(Sn-2)2+3Tn=4，再寫(xiě)一式兩式相減，化簡(jiǎn)可得2S_n+1-S_n=2，再寫(xiě)一式，兩式相減，即可證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，從而可得通項(xiàng)公式；
（2）先求和，再分離參數(shù)，確定函數(shù)的范圍，即可求得λ的最小值．

解答：（1）證明：因?yàn)?span id="ieao4ce" class="MathJye">(Sn-2)2+3Tn=4，其中S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，T_n是數(shù)列{

a

2 n

}的前n項(xiàng)和，且a_n＞0，
所以，當(dāng)n=1時(shí)，由(a1-2)2+3a12=4，解得a₁=1，…（2分）
當(dāng)n=2時(shí)，由(1+a2-2)2+3(1+a22)=4，解得a2=

1

2

； …（4分）
由(Sn-2)2+3Tn=4，知(Sn+1-2)2+3Tn+1=4，
兩式相減得(Sn+1-Sn)(Sn+1+Sn-4)+3

a

2 n+1

=0，即(Sn+1+Sn-4)+3

a

n+1

=0，…（5分）
亦即2S_n+1-S_n=2，從而2S_n-S_n-1=2，（n≥2），
再次相減得an+1=

1

2

an，(n≥2)，又a2=

1

2

a1，所以

an+1

an

=

1

2

，(n≥1)
所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為

1

2

的等比數(shù)列，…（7分）
其通項(xiàng)公式為an=

1

2n-1

，n∈N^*．…（8分）
（2）解：由（1）可得Sn=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2[1-(

1

2

)n]，Tn=

1-( 1 4 )n

1- 1 4

=

4

3

[1-(

1

4

)n]，…（10分）
若Sn2-λTn＜0對(duì)n∈N^*恒成立，只需λ＞

Sn2

Tn

=3

1-( 1 2 )n

1+( 1 2 )n

=3-

6

2n+1

對(duì)n∈N^*恒成立，
因?yàn)?span id="ymuuq2a" class="MathJye">3-

6

2n+1

＜3對(duì)n∈N^*恒成立，所以λ≥3，即λ的最小值為3；

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查恒成立問(wèn)題，正確求通項(xiàng)是關(guān)鍵．