Question

7．已知函數(shù)f（x）=e^x-kx+k（k∈R）．
（1）試討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；
（2）若該函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂試求實(shí)數(shù)k取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論k的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）結(jié)合題意得到k＞0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性，從而求出k的范圍即可．

解答 解：（1）由f（x）=e^x-kx+k，（k∈R），則f′（x）=e^x-k，
討論：若k≤0，則f′（x）＞0，故f（x）在定義域上單調(diào)遞增；
若k＞0，令f′（x）＞0，解得x＞lnk；令f′（x）＜0，解得x＜lnk，
綜上：當(dāng)k≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為R，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)k＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（lnk，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，lnk），
（2）由題意：由（1）可知，當(dāng)k≤0時(shí)，函數(shù)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，舍去；
k＞0時(shí)，令f（lnk）=e^lnk-klnk+k＜0，解得k＞e²，
此時(shí)f（1）=e＞0；x→+∞時(shí)，f（x）→+∞＞0，
因此會(huì)有兩個(gè)零點(diǎn)，符合題意．
綜上：實(shí)數(shù)k的取值范圍是（e²，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想，是一道綜合題．