請(qǐng)先閱讀：

在等式（）的兩邊求導(dǎo)，得：，

由求導(dǎo)法則，得，化簡(jiǎn)得等式：。

（1）利用上題的想法（或其他方法），結(jié)合等式 （，正整數(shù)），證明：。

（2）對(duì)于正整數(shù)，求證：

（i）；  （ii）；  （iii）。

（1）證明見(jiàn)解析。

（2）證明見(jiàn)解析。


解析:

證明：（1）在等式兩邊對(duì)求導(dǎo)得

          移項(xiàng)得                 （*）

（2）（i）在（*）式中，令，整理得 

     所以   

（ii）由（1）知

兩邊對(duì)求導(dǎo)，得

在上式中，令

              

即 ，

亦即          （1） 

又由（i）知          （2）

由（1）+（2）得

（iii）將等式兩邊在上對(duì)積分

    由微積分基本定理，得

    所以 

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：閱讀理解

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在等式cos2x=2cos2x-1（x∈R）的兩邊求導(dǎo)，得：（cos2x）′=（2cos2x-1）′，由求導(dǎo)法則，得（-sin2x）•2=4cosx•（-sinx），化簡(jiǎn)得等式：sin2x=2cosx•sinx．
（1）利用上題的想法（或其他方法），結(jié)合等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn（x∈R，正整數(shù)n≥2），證明：n[(1+x)n-1-1]=
n
k=2
k
C
k
n
xk-1．
（2）對(duì)于正整數(shù)n≥3，求證：
（i）
n
k=1
(-1)kk
C
k
n
=0；
（ii）
n
k=1
(-1)kk2
C
k
n
=0；
（iii）
n
k=1
1
k+1
C
k
n
=
2n+1-1
n+1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題（江蘇卷） 題型：解答題

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在等式（）的兩邊求導(dǎo)，得：，
由求導(dǎo)法則，得，化簡(jiǎn)得等式：。
（1）利用上題的想法（或其他方法），結(jié)合等式 （，正整數(shù)），證明：。
（2）對(duì)于正整數(shù)，求證：
（i）； （ii）； （iii）。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題（江蘇卷） 題型：解答題

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在等式（）的兩邊求導(dǎo)，得：，

由求導(dǎo)法則，得，化簡(jiǎn)得等式：。

（1）利用上題的想法（或其他方法），結(jié)合等式 （，正整數(shù)），證明：。

（2）對(duì)于正整數(shù)，求證：

（i）；  （ii）；  （iii）。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（08年江蘇卷）【必做題】．請(qǐng)先閱讀：

在等式（）的兩邊求導(dǎo)，得：，

由求導(dǎo)法則，得，化簡(jiǎn)得等式：．

（1）利用上題的想法（或其他方法），結(jié)合等式 （，正整數(shù)），證明：．

（2）對(duì)于正整數(shù)，求證：

（i）；  （ii）；  （iii）．

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