Question

已知函數f（x）=|x-a|+a，若不等式f（x）≤4的解集為{x|2≤x≤4}．
（1）求a的值；
（2）若不等式f（x）≤mx的解集非空，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由不等式|x-a|+a≤4求得它的解集為{x|2a-4≤x≤4}，又已知它的解集為{x|2≤x≤4}，可得 2a-4=2，
從而求得a的值．
（2）若不等式f（x）≤mx的解集非空，則函數y=f（x）=|x-2|+2的圖象與直線y=mx 的圖象有交點，數形結合求得
m的取值范圍．

解答：解：（1）由|x-a|+a≤4可得|x-a|≤4-a，∴a-4≤x-a≤4-a，∴2a-4≤x≤4，
故不等式f（x）≤4的解集為{x|2a-4≤x≤4}．
再由不等式f（x）≤4的解集為{x|2≤x≤4}可得 2a-4=2，∴a=3．
（2）若不等式f（x）≤mx的解集非空，則函數y=f（x）=|x-3|+3的圖象與直線y=mx 的圖象有交點，
∴m≥1，或 m≤-1，
故m的取值范圍是 {m|m≥1，或 m≤-1 }．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，函數圖象交點問題，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．