Question

已知雙曲線

x2

4

-

y2

3

=1的左、右頂點分別為A₁和A₂，M（x₁，-y₁）和N（x₁，y₁）是雙曲線上兩個不同的動點．
（1）求直線A₁M與A₂N交點Q的軌跡C的方程；
（2）過點P（l，0）作斜率為k（k≠0）的直線l交軌跡C于A、B兩點，
①求

OA

•

OB

的取值范圍；
②若

AP

=λ

PB

，問在x軸上是否存在定點E，使得

OP

⊥

EA

-λ

EB

？若存在，求出E點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設直線A₁M與A₂N的交點為Q（x，y），由已知得y²=

-y12

x12-4

（x²-4），由此能求出直線A₁M與A₂N交點Q的軌跡C的方程是

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）①設直線AB的方程為y=k（x-1），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用韋達定理結合已知條件能推導出

OA

•

OB

的取值范圍．
②設在x軸上存在點E（x₀，0），則

AP

=（1-x₃，-y₃），

PB

=(x4-1，y4)，由

AP

=λ

PB

，得λ=-

y3

y4

，由

OP

⊥(

EA

-λ

EB

)，得：

2

k

y3y4+y3+y4=(y3+y4)x0，由此推導出在x軸上存在定點E，使得

OP

⊥

EA

-λ

EB

，E點坐標為E（4，0）．

解答： 解：（Ⅰ）設直線A₁M與A₂N的交點為Q（x，y），
∵A₁，A₂是雙曲線

x2

4

-

y2

3

=1的左、右頂點，∴A₁（-2，0），A₂（2，0），
∵M（x₁，-y₁）和N（x₁，y₁）是雙曲線上兩個不同的動點．
∴直線A₁M：y=

-y1

x1+2

（x+2），直線A₂N：y=

y1

x1-2

(x-2)，
兩式相減，得：y²=

-y12

x12-4

（x²-4），
而M（x₁，-y₁）在雙曲線

x2

4

-

y2

3

=1上，
∴

x12

4

-

y12

3

=1，即x12-4=

4

3

y12，∴

x2

4

+

y2

3

=1
∴直線A₁M與A₂N交點Q的軌跡C的方程是

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）①設直線AB的方程為y=k（x-1），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x3+x4=

8k2

3+4k2

，x3•x4=

4k2-12

3+4k2

，
∴y₃y₄=k（x₃-1）•k（x₄-1）=k²x₃x₄-k²（x₃+x₄）+k²，
從而

OA

•

OB

=x₃x₄+y₃y₄=（k²+1）x₃x₄-k²（x₃+x₄）+k²=-

5k2+12

4k2+3

，
令t=4k²+3，t≥3，則

OA

•

OB

=-（

5

4

+

33

4t

），
∵t≥3，∴0＜

1

t

≤

1

3

，

5

4

＜

5

4

+

33

4t

＜4，
∴-4≤-(

5

4

+

33

4t

)＜-

5

4

，
故

OA

•

OB

的取值范圍是[-4，-

5

4

）．
②設在x軸上存在點E（x₀，0），則

AP

=（1-x₃，-y₃），

PB

=(x4-1，y4)，
∵

AP

=λ

PB

，∴-y₃=λy₄，∵y₄≠0，∴λ=-

y3

y4

，
∵

OP

=(1，0)，

EA

=(x3-x0，y3)，

EB

=(x4-x0，y4)，
∴

EA

-λ

EB

=（x₃-x₀-λx₄+λx₀，y₃-λy₄），
又∵

OP

⊥(

EA

-λ

EB

)，∴

OP

•(

EA

-λ

EB

)=0，
∴x₃-x₀-λx₄+λx₀=0，
將x3=

1

k

y3+1，x4=

1

k

y4+1，λ=-

y3

y4

代入上式，并整理，得：

2

k

y3y4+y3+y4=(y3+y4)x0，
當y₃+y₄≠0時，x0=

2y3y4

k(y3+y4)

+1=

2(-9k2)

k(-6k)

+1=4，
當y₃+y₄=0時，k=0不合題意，
∴在x軸上存在定點E，使得

OP

⊥

EA

-λ

EB

，E點坐標為E（4，0）．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查向量積的取值范圍的求法，考查滿足條件的定點坐標是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．