Question

1．如圖所示，在梯形ABCD中，∠B=$\frac{π}{2}$，$AB=\sqrt{2}$，BC=2，點E為AB的中點，若向量$\overrightarrow{CD}$在向量$\overrightarrow{BC}$上的投影為$-\frac{1}{2}$，則$\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{BD}$=（　�。�

• A． -2
• B． $-\frac{1}{2}$
• C． 0
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 以B為原點，BC為x軸，AB為y軸建系，設向量$\overrightarrow{CD}$與向量$\overrightarrow{BC}$的夾角為θ，轉化求解相關向量，然后求解數量積即可．

解答 解：以B為原點，BC為x軸，AB為y軸建系如圖，

∵$AB=\sqrt{2}$，BC=2，∴$A（{0，\sqrt{2}}）$，B（0，0），C（2，0），D的縱坐標為$\sqrt{2}$，
∵點E為AB的中點，∴$E（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，若向量$\overrightarrow{CD}$在向量$\overrightarrow{BC}$上的投影為$-\frac{1}{2}$，設向量$\overrightarrow{CD}$與向量$\overrightarrow{BC}$的夾角為θ，所以$|{\overrightarrow{CD}}|cosθ=-\frac{1}{2}$，過D作DF⊥BC，垂足為F，在Rt△DFC中，$cos（{π-θ}）=\frac{{|{\overrightarrow{FC}}|}}{{|{\overrightarrow{CD}}|}}$，所以$|{\overrightarrow{CF}}|=\frac{1}{2}$，所以$D（{\frac{3}{2}，\sqrt{2}}）$，所以$\overrightarrow{CE}=（{-2，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，$\overrightarrow{BD}=（{\frac{3}{2}，\sqrt{2}}）$，所以$\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{BD}=-3+1=-2$．
故選：A．

點評 本題考查向量的數量積的求法，坐標法的應用，考查數形結合以及計算能力．