Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
（1）求證：AC⊥BC₁；
（2）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（3）試在線段A₁B₁上找一點(diǎn)M，使得平面AC₁M∥平面CDB₁．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,平面與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出CC₁⊥AC，BC⊥AC，從而AC⊥平面BCC₁B₁，由此能證明AC⊥BC₁．
（Ⅱ）設(shè)BC₁∩CB₁=O，則O為B₁C中點(diǎn)．連接OD，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，從而AC₁∥OD，由此能證明AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅲ）M為線段A₁B₁的中點(diǎn)．使得平面AC₁M∥平面CDB₁．由點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，M為線段A₁B₁的中點(diǎn)，推導(dǎo)出CD∥C₁M，AM∥DB₁，從而得到平面AC₁M∥平面CDB₁．

解答： （1）證明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥AC，
AC=3，BC=4，AB=5，因此BC⊥AC，
而BC∩CC₁=C，
因此AC⊥平面BCC₁B₁，
而BC₁?平面BCC₁B₁，
∴AC⊥BC₁．
（Ⅱ）證明：設(shè)BC₁∩CB₁=O，則O為B₁C中點(diǎn)．
連接OD，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
因此AC₁∥OD，而OD?平面B₁CD，AC₁不包含于平面B₁CD，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅲ）解：M為線段A₁B₁的中點(diǎn)．使得平面AC₁M∥平面CDB₁．
證明如下：
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，M為線段A₁B₁的中點(diǎn)，
∴CD∥C₁M，AD

∥

.

MB₁，∴四邊形ADB₁M是平行四邊形，
∴AM∥DB₁，
∵C₁M∩AM=M，∴平面AC₁M∥平面CDB₁．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考要直線與平面平行證明，考查使平面與平面平行的點(diǎn)的位置的確定與證明，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．