Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁，∠B₁A₁C₁=90°，D、E分別為CC₁和A₁B₁的中點，且A₁A=AC=2AB=2．
（I）求證：C₁E∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求點C₁到平面A₁BD的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明C₁E∥平面A₁DB，利用線面平行的判定，證明線線平行即可，取A₁B中點F，連接EF，F(xiàn)D，證明C₁EFD為平行四邊形，可得C₁E∥DF，從而問題得證；
（Ⅱ）利用等體積法，即可求點C₁到平面A₁BD的距離，則、VB-A1C1D=

1

3

•

1

2

•2×1×1=

1

3

VB-A1C1D=VC1-A1BD．

解答：（Ⅰ）證明：取A₁B中點F，連接EF，F(xiàn)D．
∵EF∥

1

2

B1B，又B₁B∥C₁C，C1D=

1

2

C1C，
∴EF平行且等于

1

2

C1D，
∴C₁EFD為平行四邊形，…（4分）
∴C₁E∥DF，又DF?平面A₁DB，
∴C₁E∥平面A₁DB．…（6分）
（Ⅱ）解：A1B=AD=

5

，BD=

6

，…（8分）
所以S△A1BD=

1

2

6

•

5- 3 2

=

1

2

21

，
設(shè)點C₁到平面A₁BD的距離為d，則VB-A1C1D=

1

3

•

1

2

•2×1×1=

1

3

VB-A1C1D=VC1-A1BD，…（10分）
∴

1

3

•

1

2

•

21

 d=

1

3

，
∴d=

2 21

21

．
所以點C₁到平面A₁BD的距離為

2 21

21

．…（12分）

點評：本題考查線面平行，考查點到面的距離的計算，解題的關(guān)鍵是利用線面平行的判定證明線面平行，利用等體積法求點到面的距離．