Question

如圖為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁切去一個三棱錐B₁-A₁BC₁后得到的幾何體．
（1）若點O為底面ABCD的中心，求證：直線D₁O∥平面A₁BC₁；
（2）求證：平面A₁BC₁⊥平面BD₁D．

Answer 1

【答案】分析：由于題目中的幾何體是由正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁切去一個三棱錐B₁-A₁BC₁后得到的幾何體，所以我們可以將他增補成正方體，然后進行再進行證明：（1）要證明直線D₁O∥平面A₁BC₁關(guān)鍵是要在平面內(nèi)找到一條可能與直線D₁O平行的直線，但平面A₁BC₁中已知的三條直線均與D₁O不平行，故我們要作輔助線，協(xié)助證明；（2）要證明：平面A₁BC₁⊥平面BD₁D．關(guān)鍵是要在一個面內(nèi)找出一條直線證明它與另一個平面垂直，由圖分析A₁C₁可能垂直平面BD₁D，故可以以此為切入點進行證明．
解答：解：（1）將其補成正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，設(shè)B₁D₁和A₁C₁交于點O₁，連接O₁B，
依題意可知，D₁O₁∥OB，且D₁O₁=OB，即四邊形D₁OBO₁為平行四邊形，
則D₁O∥O₁B，因為BO₁?平面BA₁C₁，D₁O?平面BA₁C₁，
所以有直線D₁O∥平面BA₁C₁．

（2）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
則DD₁⊥A₁C₁，
在正方形A₁B₁C₁D₁中，B₁D₁⊥A₁C₁，
又∵DD₁∩B₁D₁=D₁，∴A₁C₁⊥平面BD₁D，
∵A₁C₁?平面A₁BC₁，則平面A₁BC₁⊥平面BD₁D．
點評：判斷或證明線面平行的常用方法有：①利用線面平行的定義（無公共點）；②利用線面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性質(zhì)定理（α∥β，a?α⇒a∥β）；④利用面面平行的性質(zhì)（α∥β，a?α，a?，a∥α⇒?a∥β）．線線垂直可由線面垂直的性質(zhì)推得，直線和平面垂直，這條直線就垂直于平面內(nèi)所有直線，這是尋找線線垂直的重要依據(jù)．垂直問題的證明，其一般規(guī)律是“由已知想性質(zhì)，由求證想判定”，也就是說，根據(jù)已知條件去思考有關(guān)的性質(zhì)定理；根據(jù)要求證的結(jié)論去思考有關(guān)的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結(jié)合起來．線線垂直可由線面垂直的性質(zhì)推得，直線和平面垂直，這條直線就垂直于平面內(nèi)所有直線，這是尋找線線垂直的重要依據(jù)．垂直問題的證明，其一般規(guī)律是“由已知想性質(zhì)，由求證想判定”，也就是說，根據(jù)已知條件去思考有關(guān)的性質(zhì)定理；根據(jù)要求證的結(jié)論去思考有關(guān)的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結(jié)合起來．