Question

(2007湖南，20)已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點的動直線與雙曲線相交于A、B兩點．

(1)若動點M滿足(其中O為坐標原點)，求點M的軌跡方程；

(2)在x軸上是否存在定點C，使為常數(shù)?若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：由條件知(－2，0)，(2，0)，設(shè)，． (1)設(shè)M(x，y)，則，，，．由得 即 于是AB的中點坐標為． 當AB不與x軸垂直時，， 即． 因為A、B兩點在雙曲線上， 所以，，兩式相減得 ， 即． 將代入上式， 化簡得． 當AB與x軸垂直時，，求得M(8，0)，也滿足上述方程． 故點Ｍ的軌跡方程是． (2)假設(shè)在x軸上存在定點C(m，0)，使為常數(shù)． 當AB不與x軸垂直時，設(shè)直線AB的方程是y=k(x－2)(k≠±1)． 代入有． 則是上述方程的兩個實根， 所以，． 于是 ． 因為是與k無關(guān)的常數(shù)，所以4－4m=0，即m=1，此時． 當AB與x軸垂直時，點A、B的坐標可分別設(shè)為， 此時． 故在x軸上存在定點C(1，0)，使為常數(shù)．