已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦點為F，點E(
a2
c
，0)在x軸上，若橢圓的離心率e=
2
2
，且|EF|=1．
（1）求a，b的值；
（2）若過F的直線交橢圓于A，B兩點，且
OA
+
OB
與向量
m
=(4，-
2
)共線（其中O為坐標(biāo)原點），求證：
OA
與
OB
的夾角為
π
2
．
分析：（1）跟橢圓的性質(zhì)及題意可知
c
a
和
a2
c
-c的值，聯(lián)立方程可求得a和c，進而根據(jù)b=
a2-c2
求得b．
（2）根據(jù)（1）可求得橢圓的焦點可知直線不垂直于x軸，進而可設(shè)直線AB：y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），直線和橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理可求得x1+x2和x1x2，進而表示出
OA
+
OB
求得k的值，進而可求得
OA
•
OB
=0判斷夾角為90°
解答：解：（1）由題意知
c
a
=
2
2
，
a2
c
-c=1，解得a=
2
，c=1，從而b=1．
（2）由（1）知F（1，0），顯然直線不垂直于x軸，
可設(shè)直線AB：y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），
則
y=k(x-1)
x2
2
+y2=1
消去y，得（1+2k2）x2-4k2x+2（k2-1）=0，
則x1+x2=
4k2
1+2k2
，x1x2=
2(k2-1)
1+2k2
，y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=
-2k
1+2k2
，
于是
OA
+
OB
=(
4k2
1+2k2
，-
2k
1+2k2
)，
依題意：
4k2
1+2k2
4
=
-2k
1+2k2
-
2
，故k=
2
，或k=0(舍)
又y1y2=k(x1-1)k(x2-1)=-
k2
1+2k2
，
故
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=0，所以
OA
與
OB
的夾角為90°
點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．考查了學(xué)生對問題的綜合分析和基本的運算能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當(dāng)點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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同步練習(xí)冊答案