Question

16．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（b＞a），且f（x）≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，若$\frac{f（-2）}{f（2）-f（0）}$取到最小值時(shí)，有
（1）當(dāng)a=1，求f（x）；
（2）設(shè)g（x）=|f（x）-a|，對(duì)任意的x₁，x₂∈[-3a，-a]都有|g（x₁）-g（x₂）|≤2a，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x）≥0恒成立，求出c與a，b的關(guān)系，利用$\frac{f（-2）}{f（2）-f（0）}$，求出函數(shù)的解析式．
（2）分類討論轉(zhuǎn)化f（x）_max-f（x）_min≤4a，利用單調(diào)性，結(jié)合不等式求解即可．

解答 解：（1）由f（x）≥0恒成立，得$\left\{\begin{array}{l}{△≤0}\\{a＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{c≥\frac{^{2}}{4a}}\\{a＞0}\end{array}\right.$，
記T=$\frac{f（-2）}{f（2）-f（0）}$=$\frac{4a-2b+c}{4a+2b}$≥$\frac{4a-2b+\frac{^{2}}{4a}}{4a+2b}$，
設(shè)t=$\frac{a}$＞1，則T=$\frac{（t-4）^{2}}{8（t+2）}$，再設(shè)u=t+2＞3，
則T=$\frac{（u-6）^{2}}{8u}$=$\frac{1}{8}$（u-12+$\frac{36}{u}$）≥0．
當(dāng)b=c=4a時(shí)，$\frac{f（-2）}{f（2）-f（0）}$取最小值，此時(shí)f（x）=a（x+2）²．
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=（x+2）²．
（2）對(duì)任意的x₁，x₂∈[-3a，-a]都有|g（x₁）-g（x₂）|≤2a，
即即當(dāng)x∈[-3a，-a]時(shí)，都有g(shù)（x）_max-g（x）_min≤2a，
∵g（x）=a（x²+4x+3），g（-3a）=9a³-12a²+3a，g（-a）=a³-4a²+3a，
①當(dāng)-a≤-3時(shí)，即a≥3時(shí)，g（x）在x∈[-3a，-a]上遞減，
且g（x）_max-g（x）_min≤g（-3a）-f（-a）=8a³-8a²≤2a，
解得$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$≤a≤$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，無(wú)解
②當(dāng)-3a≤-3＜-a≤-1，即1≤a＜3時(shí)，要使g（x）_max-g（x）_min≤2a，
只要g（-3a）=9a³-12a²+3a≤2a，解得$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$≤a≤$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$
∴1≤a≤$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，
③當(dāng)-3＜-3a＜-1＜-a，即$\frac{1}{3}$＜a＜1時(shí)，
要使g（x）_max-g（x）_min≤2a，
只要g（-a）=a³-4a²+3a≤2a，解得2-$\sqrt{3}$≤a≤2+$\sqrt{3}$
∴$\frac{1}{3}$＜a＜1時(shí)，
④當(dāng)-3a≥-1，即0＜a≤$\frac{1}{3}$時(shí)，
∴g（x）在x∈[-3a，-a]上遞增，
且g（x）_max-g（x）_min=g（-a）-g（-3a）=-8a³+8a²≤2a，解得a∈R，
∴所以0＜a≤$\frac{1}{3}$．
綜上，a的取值范圍為（0，$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，分類討論思想，關(guān)鍵是分清討論的標(biāo)準(zhǔn)，確定最大值最小值即可，屬于中檔題，