Question

正 2006 邊形 P 的一條對(duì)角線稱為好的，如果它的兩端點(diǎn)將 P 的邊界分成的兩部分各含P 的奇數(shù)條邊．P 的邊也是好的．

設(shè) P 被不在 P 的內(nèi)部相交的 2003 條對(duì)角線剖分為三角形．試求這種剖分圖中有兩條邊為好的等腰三角形個(gè)數(shù)的最大值．

Answer 1

解析：對(duì)于剖分圖中的任一三角形ABC，P的邊界被A，B，C分為3段，A-B段所含P的邊數(shù)記作m(AB)．由于m(AB)+ m(BC)+ m(CA)=2006，故等腰三角形若有兩條好邊，它們必是兩腰．稱這樣的等腰三角形為好三角形．

考慮任一好三角形 ABC(AB=AC)．A-B 段上若有別的好三角形，其兩腰所截下的 P 的邊數(shù)為偶數(shù)．由于剖分圖中的三角形互不交叉，而 A-B 段上 P 的邊數(shù)為奇數(shù)，故A-B段上必有P的一邊α不屬于更小的腰段，同理A-C段上也有P的一邊β不屬于更小的腰段，令△ABC 對(duì)應(yīng)于{α，β}．由上述取法，兩個(gè)不同的好三角形對(duì)應(yīng)的二元集無公共元，因此好三角形不多于 =1003 個(gè)．

設(shè) P=A₁A₂…A₂₀₀₆，用對(duì)角線 A₁A_2k+1(1≤k≤1002)及 A_2k+1A2k+3(1≤k≤1001)所作的剖分圖恰有1003 個(gè)好三角形．因此，好三角形個(gè)數(shù)的最大值是1003．