已知函數(shù)
，
，且
在點
處的切線方程為
.
（1）求
的值；
（2）若函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)有且僅有一個極值點，求
的取值范圍；
（3）設(shè)
為兩曲線
，
的交點，且兩曲線在交點
處的切線分別為
.若取
，試判斷當(dāng)直線與
軸圍成等腰三角形時
值的個數(shù)并說明理由.
（1）
；（2）
；（3）2個
解析試題分析：（1）由函數(shù)，在點處的切線方程為.所以對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)斜率為1以及過點（1,0）兩個條件即可求出結(jié)論.
（2）由函數(shù)，對函數(shù)
求導(dǎo)，并令
可解得兩個根，由于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個極值點，的根在內(nèi)有且僅有一個根.所以通過分類討論即可求的取值范圍.
（3）兩曲線在交點處的切線分別為.若取，當(dāng)直線與軸圍成等腰三角形時.通過求導(dǎo)求出兩函數(shù)的切線的斜率，即可得到這兩斜率不可能是相等，所以依題意可得到兩切線傾斜角有兩倍的關(guān)系，再通過解方程和函數(shù)的單調(diào)性的判斷即可得到結(jié)論.
（1）
，∴
，又
，
∴． 3分
（2）
；
∴
由
得
，
∴
或
． 5分
∵
，當(dāng)且僅當(dāng)
或
時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個極值點． 6分
若，即
，當(dāng)
時
；當(dāng)
時
，函數(shù)有極大值點，
若，即
時，當(dāng)
時；當(dāng)
時，函數(shù)有極大值點，
綜上，的取值范圍是． 8分
（3）當(dāng)時，設(shè)兩切線的傾斜角分別為
，
則
，
∵
， ∴均為銳角， 9分
名校課堂系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
設(shè)函數(shù)
.
（1）若曲線
在點
處與直線
相切，求a，b的值；
（2）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間．
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已知函數(shù)
，其中
.
(1)是否存在實數(shù)
，使得函數(shù)
在
上單調(diào)遞增？若存在，求出的值或取值范圍；否則，請說明理由．
(2)若a<0，且函數(shù)y＝f(x)的極小值為
，求函數(shù)的極大值。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知A、B、C是直線l上不同的三點，O是l外一點，向量
滿足：
記y＝f(x)．
（1）求函數(shù)y＝f(x)的解析式：
（2）若對任意
不等式
恒成立，求實數(shù)a的取值范圍：
（3）若關(guān)于x的方程f(x)＝2x＋b在（0，1]上恰有兩個不同的實根，求實數(shù)b的取值范圍．
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已知函數(shù)
(
為常數(shù),
是自然對數(shù)的底數(shù)),曲線
在點
處的切線與
軸平行．
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求
的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)設(shè)
,其中
為的導(dǎo)函數(shù)．證明:對任意
．
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已知函數(shù)
．
（1）試判斷函數(shù)
的單調(diào)性，并說明理由；
（2）若
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)
在
時取得極小值．
（1）求實數(shù)
的值；
（2）是否存在區(qū)間
，使得
在該區(qū)間上的值域為
？若存在，求出
，
的值；
若不存在，說明理由．
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，
.
時，證明：
；
，求k的取值范圍.
，曲線
在點
處的切線方程為
。
、
的值；
，且
時，
，求
的取值范圍。