Question

（本小題滿分15分）

若函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是奇函數(shù)，且f(x)極小值＝f(－)＝－．

（1）求函數(shù)f(x)的解析式；

（2）求函數(shù)f(x)在[－1，m](m＞－1)上的最大值；

（3）設(shè)函數(shù)g(x)＝，若不等式g(x)·g(2k－x)≥(－k)2在(0，2k)上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）f(x)＝－x3＋x

（2）f(x)max＝

（3）實(shí)數(shù)k的取值范圍是(0，)]

【解析】解：（1）函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是奇函數(shù)，則b＝d＝0，

∴f /(x)＝3ax2＋c，則

故f(x)＝－x3＋x；………………………………5分

（2）∵f /(x)＝－3x2＋1＝－3(x＋)(x－)

∴f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上是增函數(shù)，在[－，]上是減函數(shù)，

由f(x)＝0解得x＝±1，x＝0，　

如圖所示，

當(dāng)－1＜m＜0時(shí)，f(x)max＝f(－1)＝0；

當(dāng)0≤m＜時(shí)，f(x)max＝f(m)＝－m3＋m，

當(dāng)m≥時(shí)，f(x)max＝f()＝．

故f(x)max＝．………………10分

（3）g(x)＝(－x)，令y＝2k－x，則x、y∈R＋，且2k＝x＋y≥2，

又令t＝xy，則0＜t≤k2，

故函數(shù)F(x)＝g(x)·g(2k－x)＝(－x)(－y)＝＋xy－

             �。剑玿y－＝＋t＋2，t∈(0，k2]

當(dāng)1－4k2≤0時(shí)，F(xiàn)(x)無最小值，不合

當(dāng)1－4k2＞0時(shí)，F(xiàn)(x)在(0，]上遞減，在[，＋∞)上遞增，

且F(k2)＝(－k)2，∴要F(k2)≥(－k)2恒成立，

必須，

故實(shí)數(shù)k的取值范圍是(0，)]．………………15分