Question

如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，其邊長為2，E、F分別是AD，A₁B₁的中點(diǎn)，G、H是BB₁，BC的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
（1）若直線FG與EH相交于點(diǎn)P，求證：P∈AB
（2）在（1）的條件下，若G是BB₁，的中點(diǎn)，求GH的長．

Answer 1

分析：（1）可通過證明點(diǎn)P∈面AB₁，P∈面AC，故點(diǎn)P在兩個(gè)平面的交線上證明點(diǎn)在線上；
（2）先在圖形中找到線段GH，觀察其所在的位置，將其納入三角形GBH中，用勾股定理求解其值．

解答：解：（1）證：由題，F(xiàn)G∩EH=P
又FG?面ABB₁A₁，EH?面ABCD
∴P∈面AB₁，P∈面AC
又面AB₁∩面AC=AB，由公理三知，P∈AB
（2）因G為中點(diǎn)，且FB₁∥BP，所以Rt△FGB₁≌Rt△GBP
所以BP=FB₁=1，
又△BPH∽△APE，所以BH=

BP

AP

×AE=

1

3

，
在Rt△GBH中，GH=

BH2+GB2

=

( 1 3 )2+1

=

10

3

即GH的長為

10

3

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的幾何圖形幾何特征得出兩點(diǎn)間的線段所在位置的幾何特征，根據(jù)所得的幾何特征進(jìn)行計(jì)算求出點(diǎn)線面的距離，本題考查了空間想像能力及數(shù)形結(jié)合的技巧