Question

（2012•德州一模）設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線：x2=4

2

y的焦點(diǎn)重合，F(xiàn)₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率e=

3

3

，過橢圓右焦點(diǎn)F₂的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l，使得

OM

•

ON

=-1，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由；
（Ⅲ）若AB是橢圓C經(jīng)過原點(diǎn)O的弦，MN∥AB，求

3 |AB|2

|MN|

的值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)拋物線方程得它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

2

），即為橢圓的上頂點(diǎn)，得到b=

2

，結(jié)合橢圓的離心率為

3

3

，可解出a、c的值，即可得到橢圓C的方程；
（II）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線l方程：y=k（x-1），與橢圓消去y得關(guān)于x的方程，由根與系數(shù)關(guān)系得：x₁+x₂=

6k2

2+3k 2

，x₁x₂=

3k2-6

2+3k2

，代入

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂的式子并進(jìn)行化簡，可得當(dāng)k=±

2

時(shí)，

OM

•

ON

=-1，從而得到符合題意的直線l方程；
（III）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用（II）的方程并結(jié)合兩點(diǎn)距離公式進(jìn)行化簡，可得|MN|=

4 3 (k2+1)

2+3k2

，再設(shè)A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），同樣的方程可得|AB|=2

6(k2+1) 2+3k2

，由此代入

3 |AB|2

|MN|

化簡，即可得到要求的值．

解答：解：（I）拋物線x2=4

2

y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

2

），可得橢圓的上頂點(diǎn)為（0，

2

），得b=

2

∵橢圓的離心率e=

3

3

，得

c

a

=

3

3

，解得a=

3

，c=1
∴橢圓C的方程是

x2

3

+

y2

2

=1
（II）由（I）得橢圓C的右焦點(diǎn)為F₂（1，0）
①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，直線l斜率不存在，此時(shí)M（1，

2

3

3

），N（1，-

2

3

3

）
∴

OM

•

ON

=1×1+

2

3

3

×（-

2

3

3

）=-

1

3

，不符合題意；
②當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線方程l：y=k（x-1），且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由

x2 3  + y2 2 =1 y=k(x-1)

，得（2+3k²）x²-6k²x+3k²-6=0
x₁+x₂=

6k2

2+3k 2

，x₁•x₂=

3k2-6

2+3k2

∴

OM

•

ON

=x₁•x₂+y₁•y₂=x₁•x₂+k²[x₁•x₂-（x₁+x₂）+1]=（1+k²）x₁•x₂-k²（x₁+x₂）+k²=-1
即（1+k²）•

3k2-6

2+3k2

-k²•

6k2

2+3k 2

+k²=-1
解之得k=±

2

，故直線l的方程是y=

2

（x-1）或y=-

2

（x-1）．
（III）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）
由（II）得|MN|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+k2

|x₁-x₂|
=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x 1x2]

=

(1+k2)[( 6k2 2+3k 2 )2-4× 3k2-6 2+3k2  ]

=

4 3 (k2+1)

2+3k2

由

x2 3 + y2 2 =1 y=kx

消去y，整理得x2=

6

2+3k 2

∴|AB|=

(x3-x4)2+(y3-y4)2

=

1+k2

|x₃-x₄|=2

6(k2+1) 2+3k2

∴

3 |AB|2

|MN|

=

24 3 (k2+1) 2+3k2

4 3 (k2+1) 2+3k2

=6．

點(diǎn)評：本題給出橢圓的上頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，求橢圓方程并求滿足數(shù)量積

OM

•

ON

=-1的焦點(diǎn)弦所在直線方程，著重考查了橢圓、拋物線的簡單性質(zhì)，直線與圓錐曲線關(guān)系和向量的數(shù)量積等知識(shí)，屬于中檔題．