已知將函數(shù)y=cos2
x
2
-sin2
x
2
+2
3
sin
x
2
cos
x
2
的圖象上所有點向左平移
π
6
個單位，再把所得的圖象上所有點得橫坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="w3q83ij" class="MathJye">
1
2
倍（縱坐標不變），得到函數(shù)f（x）的圖象．
（I）求函數(shù)f（x）的表達式及f（x）的最小正周期；
（II）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間及f（x）在區(qū)間[0，
π
2
]上的最大值和最小值．
分析：（I）由三角函數(shù)的運算公式可得：y=2sin（x+
π
6
），由圖象變換的知識可得f（x）=2sin（2x+
π
3
），進而可得周期；
（II）由整體法可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而可得函數(shù)在區(qū)間[0，
π
2
]的最值．
解答：解：（I）由三角函數(shù)的運算公式可得：y=cos2
x
2
-sin2
x
2
+2
3
sin
x
2
cos
x
2

=cosx+
3
sinx=2（
1
2
cosx+
3
2
sinx）=2sin（x+
π
6
），
由圖象變換的知識可得將上述函數(shù)圖象向左平移
π
6
個單位，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="qsb2zb2" class="MathJye">
1
2
倍（縱坐標不變），
所得函數(shù)為：f（x）=2sin（2x+
π
3
），故其周期為：T=
2π
2
=π；
（II）由2kπ+
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
3π
2
，得f（x）=2sin（2x+
π
3
）的遞減區(qū)間為：
[kπ+
π
12
，kπ+
7π
12
]（k∈Z），又∵x∈[0，
π
2
]，∴2x+
π
3
∈[
π
3
，
4π
3
]，
∴sin（2x+
π
3
）∈[-
3
2
，1]，
所以當x=
π
2
時，f（x）取得最小值-
3
，當x=
π
12
時，f（x）取得最大值2
點評：本題考查三角函數(shù)的運算和圖象變換，涉及區(qū)間最值的求解，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（sin（ωx+?），2），
b
=（1，cos（ωx+?））(ω＞0，0＜?＜
π
4
)，函數(shù)f（x）=（
a
+
b
）•（
a
-
b
）的圖象過點M(1，
7
2
)，且該函數(shù)相鄰兩條對稱軸間的距離為2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）圖象按向量
a
=(-
2
3
，-3)平移后，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，討論函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[1，2]上的單調(diào)性．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列命題中，真命題的個數(shù)為（　�。�
（1）在△ABC中，若A＞B，則sinA＞sin B；
（2）已知
AB
=(3，4)，
CD
=(-2，-1)，則
AB
在
CD
上的投影為-2；
（3）已知p：?x∈R，cosx=1，q：?R，x2-x+1＞0，則“p∧￢q”為假命題
（4）要得到函數(shù)y=cos(
x
2
-
π
4
)的圖象，只需將y=sin
x
2
的圖象向左平移
π
4
個單位．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量m=（sinωx，cosωx），n=（cosωx，
3
cosωx）且0＜ω＜2，函數(shù)f（x）=m•n，且f（
π
3
）=
3
2
．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）將函數(shù)y=g（x）的圖象向右平移
π
3
個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的
1
4
，得到函數(shù)y=f（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的解析式及其在[-
π
3
，
π
3
]上的值域．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列結論．
①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；
②將函數(shù)y=cos(
3π
2
+x)的圖象上每個點的橫坐標縮短為原來的
1
2
（縱坐標不變），再向左平行移動
π
4
個單位長度變?yōu)楹瘮?shù)y=sin(2x+
π
4
)的圖象；
③已知ξ～N（16，σ2），若P（ξ＞17）=0.35，則P（15＜ξ＜16）=0.15；
④已知函數(shù)f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），則a+2b的取值范圍是(2
2
，+∞)；
其中真命題的序號是
①③
①③
（把所有真命題的序號都填上）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=cos2x+cos(2x-
π
2
)，其中x∈R，下面是關于f（x）的判斷：
①函數(shù)f（x）最小正周期為π
②函數(shù)f（x）的一個對稱中心是（-
π
8
，0）
③將函數(shù)y=
2
sin2x的圖象左移
π
4
得到函數(shù)f（x）的圖象
④f（x）的一條對稱軸是x=
5π
8

其中正確的判斷是
 
（把你認為正確的判斷都填上）．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案