Question

如圖，在△ABC中，AB=2，，．以點(diǎn)B為圓心，線段BC的長為半徑的半圓分別交AB所在直線于點(diǎn)E、F，交線段AC于點(diǎn)D，求弧的長．（精確到0.01）

Answer 1

【答案】分析：方法一：用余弦定理與正弦定理依次求出線段AC的長與角ACB的大小，進(jìn)而在三角形DBC中求弧的所對的圓心角的大小，用弧長公式求出弧長．
方法二：建立坐標(biāo)系，求出線段BD與線段BC所對應(yīng)的向量的坐標(biāo)，然后用向量的夾角公式算出角DBC的大小，再用弧長公式求出弧長．
解答：解：
解法一：連接BD，在△ABC中，由余弦定理得
AC²=AB²+BC²-2•AB•BC•cos∠ABC=
所以．
再由正弦定理得
在△DBC中，因?yàn)锽D=BC，故，
所以．
解法二：如圖，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，
由條件可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，1），
故直線AC的方程為，
和圓方程x²+y²=2聯(lián)立得
可解得和x=1，即得點(diǎn)D的坐標(biāo)為．
于是，得，，故向量和的夾角∠DBC的余弦值為，即
所以，．
點(diǎn)評：本題兩種方法，方法一靈活運(yùn)用解三角形的相關(guān)公式求出弧所對的圓心角的大小，些方法運(yùn)算量較小，但方法的設(shè)計(jì)作輔助線等的思維量較大．方法二建立坐標(biāo)系，求出了兩個(gè)半徑所在線段對應(yīng)的向量，方法好想，但轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)后運(yùn)算量較大．請答題者做完本題后，對比兩種方法解題的特點(diǎn)．本題中的數(shù)據(jù)需用把三角數(shù)表示，現(xiàn)在的教材已將把三角函數(shù)刪除，這是本題設(shè)計(jì)上的不足之處．