Question

已知函數(shù)f(x)=loga

1-mx

x-1

（a＞0，a≠1）是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并給出證明；
（3）當(dāng)x∈（n，a-2）時(shí)，函數(shù)f（x）的值域是（1，+∞），求實(shí)數(shù)a與n的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義可知f（-x）+f（x）=0，建立關(guān)于m的等式關(guān)系，解之即可；
（2）先利用函數(shù)單調(diào)性的定義研究真數(shù)的單調(diào)性，討論a的取值，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判定；
（3）先求函數(shù)的定義域，討論（n，a-2）與定義域的關(guān)系，然后根據(jù)單調(diào)性建立等量關(guān)系，求出n和a的值．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=loga

1-mx

x-1

（a＞0，a≠1）是奇函數(shù)．
∴f（-x）+f（x）=0解得m=-1．
（2）由（1）及題設(shè)知：f(x)=loga

x+1

x-1

，
設(shè)t=

x+1

x-1

=

x-1+2

x-1

=1+

2

x-1

，
∴當(dāng)x₁＞x₂＞1時(shí)，t1-t2=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

∴t₁＜t₂．
當(dāng)a＞1時(shí)，log_at₁＜log_at₂，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．
同理當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．

（3）由題設(shè)知：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）∪（-∞，-1），
∴①當(dāng)n＜a-2≤-1時(shí)，有0＜a＜1．由（1）及（2）題設(shè)知：f（x）在為增函數(shù)，由其值域?yàn)椋?，+∞）知

loga 1+n n-1 =1 a-2=-1

（無(wú)解）；
②當(dāng)1≤n＜a-2時(shí)，有a＞3．由（1）及（2）題設(shè)知：f（x）在（n，a-2）為減函數(shù)，由其值域?yàn)椋?，+∞）知

n=1 loga a-1 a-3 =1

得a=2+

3

，n=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)的單調(diào)性和值域問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．