設(shè)雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1的右焦點(diǎn)為F2，過(guò)點(diǎn)F2的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的斜率為
35
，且
AF2
=2
F2B
；
（1）求雙曲線C的離心率；
（2）如果F1為雙曲線C的左焦點(diǎn)，且F1到l的距離為 
2
35
3
，求雙曲線C的方程．
分析：（1）利用雙曲線的第二定義可求得雙曲線C的離心率；
（2）利用點(diǎn)到直線間的距離公式可求得由F1到l的距離為
35
c
3
，于是有
35
c
3
=
2
35
3
，可求得c，繼而可得a2，b2的值，從而可求得雙曲線C的方程．
解答：解：作雙曲線的右準(zhǔn)線L：x=
a2
c
，
分別作AA1⊥L，BB1⊥L，垂足分別為A1、B1，作BH⊥AA1，交AA1于H，
根據(jù)雙曲線第二定義，
|AF2|
|AA1|
=
|BF2|
|BB1|
=e，（e是離心率），
∵
AF2
=2
F2B
，
∴|AA1|=2|BB1|=2|A1H|，
∴H為線段AA1的中點(diǎn)，故|A1H|=|AH|，
設(shè)|BB1|=m，則|AH|=m，|AA1|=2m①
∵直線AB的斜率為
35
，設(shè)AB與x軸成角為θ，則tanθ=
35
，即
|BH|
|AH|
=
35
，
∴|BH|=
35
|AH|=
35
m，
∴在直角三角形BHA中，|AB|=6m；
∴|AF2|=4m，②
由①②得：e=
|AF2|
|AA1|
=
4m
2m
=2；
（2）∵直線方程l為：y=
35
（x-c），即
35
x-y-
35
c=0，
左焦點(diǎn)F1至AB距離d=
|-
35
c-0-
35
c|
(
35
)2+1
=
2
35
c
6
=
35
c
3
，
又F1到l的距離為 
2
35
3
，
∴
35
c
3
=
2
35
3
，
∴c=2，又e=
c
a
=2，
∴a=1，b=
3
，
∴雙曲線方程為：x2-
y2
3
=1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的第二定義，考查點(diǎn)到直線間的距離公式，考查雙曲線的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（理）設(shè)雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的離心率為e，若準(zhǔn)線l與兩條漸近線相交于P、Q兩點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，△FPQ為等邊三角形．
（1）求雙曲線C的離心率e的值；
（2）若雙曲線C被直線y=ax+b截得的弦長(zhǎng)為
b2e2
a
求雙曲線c的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)雙曲線C：
x2
a2
-y2=1 (a＞0) 與直線 l：x+y=1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B．
（1）求a的取值范圍：（2）設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P，且
PA
=
5
12
PB
．求a的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•閔行區(qū)一模）設(shè)雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a，b＞0），R1，R2是它實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，l是其虛軸的一個(gè)端點(diǎn)．已知其一條漸近線的一個(gè)方向向量是（1，
3
），△lR1R2的面積是
3
，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=kx+m（k，m∈R）與雙曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，且
OA
⊥
OB
．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）求點(diǎn)P（k，m）的軌跡方程，并指明是何種曲線．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•閔行區(qū)一模）設(shè)雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a，b＞0)的虛軸長(zhǎng)為2
3
，漸近線方程是y=±
3
x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=kx+m（k，m∈R）與雙曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，且
OA
⊥
OB
．
（1）求雙曲C的方程；
（2）求點(diǎn)P（k，m）的軌跡方程．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案