Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），的右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，P為C1上任一點(diǎn)，圓心在y軸上的圓C2與斜率為-1的直線l切于點(diǎn)B（-

2

2

，3-

2

2

），且AF∥l．
（1）求圓的方程及橢圓的離心率．
（2）過P作圓C2的切線PE，PG，若

C2E

C2G

的最小值為-

23

25

，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）由圓心在y軸上的圓C2與斜率為1的直線l切于點(diǎn)B（-

2

2

，3-

2

2

），所以圓心在過B且垂直于l的直線y=x+3上，又圓心在y軸上，則圓心C2（0，3），圓心到直線l：y=-x+3-

2

的距離r=

|- 2 |

2

=1，由此能求出橢圓的離心率．
（2）設(shè)∠EC₂G=2a，則

C2E

•

C2G

=|

C2E

| •|

C 2G

| •cos2α=cos2α=2cos²α-1，在Rt△PC₂E中，cosα=

r

| PC2 |

=

1

| PC2 |

，由橢圓的幾何性質(zhì)有：|

PC2

| ≤b+3，由此能求出橢圓的方程．

解答：解：（1）由圓心在y軸上的圓C2與斜率為1的直線l切于點(diǎn)B（-

2

2

，3-

2

2

），所以圓心在過B且垂直于l的直線y=x+3上，又圓心在y軸上，則圓心C₂（0，3），
圓心到直線l：y=-x+3-

2

的距離r=

|- 2 |

2

=1，所以所求圓C2方程為：x²+（y-3）²=1，又AF∥l，F(xiàn)（c，0），A（0，b），所以有

0-b

c-0

=-1，即b=c，橢圓的離心率為

2

2

；
（2）設(shè)∠EC₂G=2a，則

C2E

•

C2G

=|

C2E

| •|

C 2G

| •cos2α=cos2α=2cos²α-1，
在Rt△PC₂E中，cosα=

r

| PC2 |

=

1

| PC2 |

，由橢圓的幾何性質(zhì)有：|

PC2

| ≤b+3，
cosα=

1

| PC2 |

≥

1

b+3

，所以有

2

(b+3)2

-1=-

23

25

，因b＞0，所以b=2，
所以橢圓的方程為C1：

x2

8

+

y2

4

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和橢圓的離心率的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)條件，合理運(yùn)用橢圓性質(zhì)，恰當(dāng)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．