Question

如圖所示，在矩形ABCD中，AD=2AB=2，點E是AD的中點，將△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′-EC-B是直二面角．
（1）證明：BE⊥C D′；
（2）求二面角D′-BC-E的正切值．

Answer 1

分析：（1）欲證BE⊥CD′，先證BE⊥面D′EC，欲證線面垂直先證線線垂直，根據(jù)線面垂直的判定定理可證得；
（2）先以EB，EC為x、y軸，過E垂直平面BEC的射線為z軸，建立空間直角坐標系，設出平面D′BC的法向量，求出兩平面的法向量的所成角的余弦值，再求出其正切值．

解答：解：（1）∵AD=2AB=2，E是AD的中點，
∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，
易知，∠BEC=90°，即BE⊥EC．
又∵平面D′EC⊥平面BEC，面D′EC∩面BEC=EC，
∴BE⊥面D′EC，又CD′?面D′EC，
∴BE⊥CD′．
（2）如圖以EB，EC為x、y軸，過E垂直平面BEC的射線為z軸，建立空間直角坐標系．
則B（

2

，0，0），C（0，

2

，0），D′（0，

2

2

，

2

2

），

BC

=(-

2

，

2

，0)，

D′C

=(0，

2

2

，-

2

2

)，
設平面BEC的法向量為

n1

=(0，0，1)，平面D′BC的法向量為

n2

=(x2，y2，z2)，由

n2 • BC =0 n2 • D′C =0

? 

- 2 x2+ 2 y2=0 2 2 y2- 2 2 z2=0

，
取x2=1，得

n2

=(1，1，1)，
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

3

3

．
tan＜

n1

，

n2

＞=

2

，
∴二面角D′-BC-E的正切值為

2

．

點評：本題主要考查了平面與平面之間的位置關系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．