Question

已知函數(shù)f（x）與g（x）的定義域?yàn)镽，有下列5個(gè)命題：
①若f（x-2）=f（2-x），則f（x）的圖象自身關(guān)于直線y軸對(duì)稱；
②y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱；
③函數(shù)y=f（x+2）與y=f（2-x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
④f（x）為奇函數(shù)，且f（x）圖象關(guān)于直線x=

1

2

對(duì)稱，則f（x）周期為2；
⑤f（x）為偶函數(shù)，g（x）為奇函數(shù)，且g（x）=f（x-1），則f（x）周期為2．
其中正確命題的序號(hào)為

①②③④

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性、周期性的定義和函數(shù)圖象對(duì)稱性的定義，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)依此加以推理論證，可得①②③④都是正確的命題，而⑤的結(jié)論應(yīng)該是f（x）周期為4．由此可得本題的答案．

解答：解：對(duì)于①，令t=x-2，則2-x=-t，
由于f（x-2）=f（2-x），得f（t）=f（-t），所以函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
得f（x）的圖象自身關(guān)于直線y軸對(duì)稱，故①正確；
對(duì)于②，設(shè)f（m）=n，則函數(shù)y=f（x-2）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（m+2，n）
而y=f（2-x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（-m+2，n），由于點(diǎn)A與點(diǎn)B是關(guān)于x=2對(duì)稱的點(diǎn)，
故y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，故②正確；
對(duì)于③，設(shè)F（x）=f（x+2），則f（2-x）=F（-x），由于F（x）與F（-x）圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
所以函數(shù)y=f（x+2）與y=f（2-x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，得③正確；
對(duì)于④，因?yàn)閒（x）圖象關(guān)于直線x=

1

2

對(duì)稱，所以f（-x）=f（1+x），
結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)，得f（-x）=-f（x），故f（x+1）=-f（x）
由此可得f（x+2）=-f（x+1）=f（x），得f（x）是周期為2的周期函數(shù)，故④正確；
對(duì)于⑤，f（x）為偶函數(shù)，g（x）為奇函數(shù)，且g（x）=f（x-1），
則由于g（x）+g（-x）=0，得f（x-1）+f（-x-1）=0，
又因?yàn)閒（-x-1）=f（x+1），所以f（x-1）+f（x+1）=0，
由此可證出f（x+4）=f（x），得f（x）是周期為4的周期函數(shù)，故⑤不正確
故答案為：①②③④

點(diǎn)評(píng)：本題給出關(guān)于函數(shù)奇偶性、周期性和圖象對(duì)稱的幾個(gè)命題，要求我們找出其中的真命題．著重考查了函數(shù)的基本性質(zhì)與函數(shù)圖象的作法等知識(shí)，屬于中檔題．