Question

某城市2001年末汽車(chē)保有量為30萬(wàn)輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車(chē)保有量的6%，并且每年新增汽車(chē)數(shù)量相同，為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車(chē)保有量不超過(guò)60萬(wàn)輛，那么每年新增汽車(chē)數(shù)量不應(yīng)超過(guò)多少輛？

Answer 1

解法一：設(shè)2001年末汽車(chē)保有量為b₁萬(wàn)輛，以后各年末汽車(chē)保有量依次為b₂萬(wàn)輛，b₃萬(wàn)輛，…，每年新增汽車(chē)x萬(wàn)輛，則b₁=30，b₂=b₁×0.94+x.對(duì)于n＞1，有b_n+1=b_n×0.94+x=b_n－1×0.94²+（1+0.94）x=…

∴b_n+1=b₁×0.94ⁿ+x（1+0.94+…+）

=b₁×0.94ⁿ+x

=+（30－）×0.94ⁿ.

當(dāng)30－≥0，即x≤1.8時(shí)，b_n+1≤b_n≤…≤b₁=30.

當(dāng)30－＜0，即x＞1.8時(shí)，

b_n=［+（30－）×］=，并且數(shù)列{b_n}逐次增加，可以任意靠近，

b_n=［+（30－）×］=.

因此，如果要求汽車(chē)保有量不超過(guò)60萬(wàn)輛，即b_n≤60（n=1，2，3，…），

則≤60，即x≤3.6（萬(wàn)輛）.

綜上，每年新增汽車(chē)不應(yīng)超過(guò)3.6萬(wàn)輛.

解法二：依題意要求汽車(chē)保有量不超過(guò)60萬(wàn)輛，即b_n≤60（n=1，2，3，…），也就是

30×+x≤60恒成立.

解這個(gè)關(guān)于x的一元一次不等式，得

x≤1.8（1+），

記f（n）=1.8+.                                                                           （*）

∵f（n）是關(guān)于n的單調(diào)遞減函數(shù)，

∴f（n）≥f（n）=3.6.

要使（*）式恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x≤3.6.

故每年新增汽車(chē)不應(yīng)超過(guò)3.6萬(wàn)輛.

如果換一種思維方式來(lái)思考本題，會(huì)發(fā)現(xiàn)用小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)就能解決：

如果每年新增汽車(chē)的數(shù)量不超過(guò)年末報(bào)廢汽車(chē)的數(shù)量（x≤1.8萬(wàn)輛），那么汽車(chē)的保有量要逐年減少（或保持原有的數(shù)量），這顯然能使該城市汽車(chē)保有量不超過(guò)60萬(wàn)輛.

如果每年新增汽車(chē)數(shù)量比年末報(bào)廢的要多，那么汽車(chē)的保有量就要逐年增加，經(jīng)過(guò)若干年后，汽車(chē)保有量就會(huì)達(dá)到60萬(wàn)輛，隨后每年新增汽車(chē)數(shù)量只有等于或小于年末汽車(chē)報(bào)廢的數(shù)量才能使該城市汽車(chē)保有量不超過(guò)60萬(wàn)輛，即每年新增汽車(chē)數(shù)量x≤60×6%=3.6（萬(wàn)輛）.

所以每年新增汽車(chē)不應(yīng)超過(guò)3.6萬(wàn)輛.