Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA₁=2．以AB，BC為鄰邊作平行四邊形ABCD，連接DA₁和DC₁．
（Ⅰ）求證：A₁D∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求直線CC₁與平面DA₁C₁所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連接B₁C，證明四邊形A₁B₁CD是平行四邊形，可得A₁D∥B₁C，即可證明A₁D∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）由等體積求出C到平面DA₁C₁的距離，即可求直線CC₁與平面DA₁C₁所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：連接B₁C，則
∵DC∥A₁B₁，
∴四邊形A₁B₁CD是平行四邊形，
∴A₁D∥B₁C，
∵A₁D?平面BCC₁B₁，B₁C?平面BCC₁B₁，
∴A₁D∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）解：△DA₁C₁中，A₁D=C₁D=

5

，A₁C₁=1，
∴S△DA1C1=

15

2

設(shè)C到平面DA₁C₁的距離為h，則由等體積可得

1

3

•

1

2

•1•1•2=

1

3

•

15

2

•h，
∴h=

2

15

，
∴直線CC₁與平面DA₁C₁所成角的正弦值為

h

2

=

15

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確求出C到平面DA₁C₁的距離是關(guān)鍵．