Question

有以下五個命題
①設a＞0，f（x）=ax²+bx+c，曲線y=f（x）在點P（x₀，f（x₀））處切線的傾斜角的取值范圍為[0，

π

4

]，則點P到曲線y=f（x）對稱軸距離的取值范圍為[0，

1

2a

]；
②一質點沿直線運動，如果由始點起經(jīng)過t稱后的位移為s=

1

3

t3-

3

2

t2+2t，那么速度為零的時刻只有1秒末；
③若函數(shù)f（x）=log_a（x³-ax）（a＞0，且a≠1）在區(qū)間(-

1

2

，0)內(nèi)單調遞增，則a的取值范圍是[

3

4

，1)；
④定義在R上的偶函數(shù)f（x），滿足f（x+1）=-f（x），則f（x）的圖象關于x=1對稱；
⑤函數(shù)y=f（x-2）和y=f（2-x）的圖象關于直線x=2對稱．其中正確的有

 

．

Answer 1

分析：對于①，f′（x）=2ax+b，因為切線的傾斜角的取值范圍為[0，

π

4

]，所以f′（x₀）=2ax₀+b∈[0，1]，所以0≤ x0+

b

2a

≤

1

2a

判斷出①對；對于②，S′=t²-3t+2，令S′=t²-3t+2=0得x=2或x=1所以速度為零的時刻只有1秒末或2秒末，判斷出②錯；根據(jù)復合函數(shù)的單調性判斷出③對；對于④，因為定義在R上的偶函數(shù)f（x），滿足f（x+1）=-f（x），所以f（x+1）=f（-x），所以f（x）的圖象關于x=1對稱，判斷出④對對于⑤，根據(jù)圖象的平移變換判斷出⑤對．

解答：解：對于①，f′（x）=2ax+b，因為切線的傾斜角的取值范圍為[0，

π

4

]，所以f′（x₀）=2ax₀+b∈[0，1]，所以0≤ x0+

b

2a

≤

1

2a

即點P到曲線y=f（x）對稱軸距離的取值范圍為[0，

1

2a

]；故①對
對于②，S′=t²-3t+2，令S′=t²-3t+2=0得x=2或x=1所以速度為零的時刻只有1秒末或2秒末，故②錯，
對于③，令t=x³-ax，因為t′=3x²-a，當a＞1時，t′=3x²-a≥0在區(qū)間(-

1

2

，0)內(nèi)恒成立，得a≤0不合題意；當0＜a＜1時t′=3x²-a≤0在區(qū)間(-

1

2

，0)內(nèi)恒成立，得a≥

3

4

，所以a的取值范圍是[

3

4

，1)；所以③對；
對于④，因為定義在R上的偶函數(shù)f（x），滿足f（x+1）=-f（x），所以f（x+1）=f（-x），所以f（x）的圖象關于x=1對稱，故④對；
對于⑤，因為y=f（x）與y=f（-x）關于y軸對稱，而y=f（x-2）的圖象是由y=f（x）的圖象向右平移2個單位；
y=f（2-x）的圖象是由f（-x）的圖象向有平移2個單位，所以函數(shù)y=f（x-2）和y=f（2-x）的圖象關于直線x=2對稱，故⑤對．
故答案為①③④⑤

點評：解決函數(shù)的圖象的平移問題，一定要注意圖象平移的單位是自變量x的變換的數(shù)的絕對值，然后遵循左加右減的原則．