已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點、對稱軸為坐標(biāo)軸,且拋物線x2=-4
2
y
的焦點是它的一個焦點,又點A(1,
2
)
在該橢圓上.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若斜率為
2
直線l與橢圓E交于不同的兩點B、C,當(dāng)△ABC面積的最大值時,求直線l的方程.
(1)由已知拋物線的焦點為(0,-
2
),故設(shè)橢圓方程為
y2
a2
+
x2
a2-2
=1

將點A(1,
2
),代入方程得
y2
a2
+
x2
a2-2
=1
,,得a2=4或a2=1(舍)(4分)
故所求橢圓方程為
y2
4
+
x2
2
=1
(5分)
(2)設(shè)直線BC的方程為y=
2
x+m,設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2
代入橢圓方程并化簡得4x2+2
2
mx+m2-4=0

由△=8m2-16(m2-4)=8(8-m2)>0可得m2<8,①
x1+x2=-
2
2
m
,x1x2=
m2-4
4

故|BC|=
3
|x1-x2|=
3
-
16-2m 2
2

又點A到BC的距離為d=
|m|
3

SABC=
1
2
×|BC|×d
=
m2(16-2m2)
4
1
4
2
×
2m2+16-2m2
2
=
2

當(dāng)且僅當(dāng)2m2=16-2m2,即m=±2時取等號(滿足①式),S取得最大值
2

此時求直線l的方程為y=
2
x±2.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點,焦點在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過A(-2,0),B(2,0),C(1,
32
)
三點
(1)求橢圓方程
(2)若此橢圓的左、右焦點F1、F2,過F1作直線L交橢圓于M、N兩點,使之構(gòu)成△MNF2證明:△MNF2的周長為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點,焦點在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過A(-2,0)、B(2,0)、C(1,
32
)
三點.
(1)求橢圓E的方程:
(2)若點D為橢圓E上不同于A、B的任意一點,F(xiàn)(-1,0),H(1,0),當(dāng)△DFH內(nèi)切圓的面積最大時.求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•閔行區(qū)二模)已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點O,焦點在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過M(2,1),N(2
2
,0)
兩點.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若平行于OM的直線l在y軸上的截距為b(b<0),直線l交橢圓E于兩個不同點A、B,直線MA與MB的斜率分別為k1、k2,求證:k1+k2=0.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點,焦點在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過A(-2,0)、B(2,0)、C(1,
32
)
三點.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若點D為橢圓E上不同于A、B的任意一點,F(xiàn)(-1,0),H(1,0),當(dāng)△DFH內(nèi)切圓的面積最大時,求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo);
(3)若直線l:y=k(x-1)(k≠0)與橢圓E交于M、N兩點,證明直線AM與直線BN的交點在定直線上并求該直線的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點O,焦點在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過M(2,1)、N(2
2
,0)
兩點,P是E上的動點.
(1)求|OP|的最大值;
(2)若平行于OM的直線l在y軸上的截距為b(b<0),直線l交橢圓E于兩個不同點A、B,求證:直線MA與直線MB的傾斜角互補.

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