Question

函數(shù)f（x）=3sinπx-log 

1

2

x的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是

9

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于y=3sinπx和y=log

1

2

x圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．因此在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=3sinπx和y=log

1

2

x的圖象，分析函數(shù)y=3sinπx的周期性和最值，以及函數(shù)y=log

1

2

x的單調(diào)性與值域，可得兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而得到答案．

解答：解：由f（x）=3sinπx-log

1

2

x=0，得3sinπx=log

1

2

x．
記函數(shù)y=3sinπx和y=log

1

2

x，兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于函數(shù)f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=3sinπx和y=log

1

2

x的圖象，如圖所示．

∵函數(shù)y=3sinπx的周期T=

2π

π

=2，函數(shù)的最小值為-3；
函數(shù)y=log

1

2

x為（0，+∞）上的單調(diào)減函數(shù)，
當(dāng)x∈（0，8]時(shí)，y≥-3，而x∈（8，+∞）時(shí)，y＜-3，
∴函數(shù)y=3sinπx在區(qū)間（0，8]上出現(xiàn)4個(gè)周期，得y=3sinπx的圖象和y=log

1

2

x的圖象交點(diǎn)有9個(gè)，
而在區(qū)間（8，+∞）上，由于y=log

1

2

x小于y=3sinπx的最小值，兩圖象沒(méi)有公共點(diǎn)．
綜上所述，函數(shù)y=3sinπx和y=log

1

2

x的圖象共有9個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f（x）=3sinπx-log

1

2

x有9個(gè)零點(diǎn)．
故答案為：9

點(diǎn)評(píng)：本題求函數(shù)f（x）=3sinπx-log

1

2

x的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，著重考查了三角函數(shù)的周期性、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的值域與函數(shù)圖象的作法等知識(shí)，屬于中檔題．