Question

由棱長為a的正方體的每個面向外側(cè)作側(cè)棱為a的正四棱錐，以這些棱錐的頂點為頂點的凸多面體的全面積是

（3

3

+2

6

）a²

．

Answer 1

分析：由已知，凸多面體是個正八面體，所作的正四棱錐的高為h′=

2 a

2

，正八面體相對的兩頂點的距離應為2h′+a=1+

2

a，設正八面體的棱長x，則

2

x=（1+

2

）a，這樣求出正八面體棱長以后，就能求出全面積．

解答：解：由棱長為a的正方體的每個面向外側(cè)作側(cè)棱為a的正四棱錐，共可作6個，得到6個頂點，圍成一個正八面體．所作的正四棱錐的高為h′=

2 a

2

，
正八面體相對的兩頂點的距離應為2h′+a=1+

2

a
正八面體的棱長x滿足

2

x=（1+

2

）a，x=（1+

2

2

）a，
每個側(cè)面的面積為

3

4

x2=

3

4

×（1+

2

2

）²a²=

3 3 +2 6

8

a²，
全面積是8×

3 3 +2 6

8

=3

3

+2

6

故答案為：（3

3

+2

6

）a²

點評：本題考查空間幾何體的結(jié)構特征，表面積的求法，考查空間想象能力，計算能力．本題得出正八面體的棱長是關鍵．是道好題．