Question

已知函數(shù)f（x）=2e^2x+2x+sin2x．（Ⅰ）試判斷函數(shù)f （x）的單調(diào)性并說明理由；
（Ⅱ）若對(duì)任意的x∈[0，1]，不等式組恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出其導(dǎo)函數(shù)，利用其導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)來判斷函數(shù)f （x）的單調(diào)性即可；
（Ⅱ）先把問題轉(zhuǎn)化為，對(duì)于任意x∈[0，1]恒成立；再分別求出兩段成立時(shí)實(shí)數(shù)k滿足的條件，兩個(gè)相結(jié)合即可求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．利用導(dǎo)數(shù)證明如下：
因?yàn)閒（x）=2e^2x+2x+sin2x，
所以，f'（x）=4e^2x+2+2cos2x＞0在R上恒成立，
所以f（x）在R上遞增．（5分）
（Ⅱ）由于f（x）在R上遞增，不等式組可化為，對(duì)于任意x∈[0，1]恒成立．
令F（x）=x²-2kx+k-4＜0對(duì)任意x∈[0，1]恒成立，
必有，即，解之得-3＜k＜4，
再由x²-kx-k+3＞0對(duì)任意x∈[0，1]恒成立可得，
在x∈[0，1]恒成立，因此只需求的最小值，而（x+1）+-2≥2．
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，故k＜2．
綜上可知，k的取值范圍是（-3，2）．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題第一問主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，一般結(jié)論是：導(dǎo)數(shù)大于0對(duì)應(yīng)區(qū)間為原函數(shù)的遞增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0對(duì)應(yīng)區(qū)間為原函數(shù)的遞減區(qū)間．