在Rt△ABC內(nèi)有一內(nèi)接正方形，它的一條邊在斜邊BC上，如圖所示．
（1）設(shè)AB=a，∠ABC=θ，求Rt△ABC的面積P和正方形的面積Q
（2）當(dāng)θ變化時(shí)，求數(shù)學(xué)公式的最小值．

解：（1）設(shè)正方形邊長為x
AB=a，∠ABC=θ
BC=，AC=atanθ
BD=xcotθ，EC=xtanθ
BC==BD+DE+EC=x+xcotθ+xtanθ
x==
三角形ABC的面積P=AB×AC=a2tanθ
正方形的面積 Q=x2=．
（2）
=×
=+sinθcosθ+1
∵sinθ＞0，cosθ＞0
令：t=sin2θ
∵0＜θ＜
∴t∈（0，1]∴=1++，函數(shù)在（0，1]遞減
∴ymin=（當(dāng)且僅當(dāng)t=1即θ=
π
4
時(shí)成立）
∴當(dāng)θ=時(shí)，的最小值為．
分析：（1）設(shè)正方形邊長為x，求出BC=，AC=atanθ，x，即可求出三角形ABC的面積P，正方形的面積Q．
（2）利用（1）推出的表達(dá)式，利用函數(shù)的單調(diào)性，求出比值的最小值．
點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的基本關(guān)系式，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在Rt△ABC內(nèi)有一內(nèi)接正方形，它的一條邊在斜邊BC上，設(shè)AB=a，∠ABC=θ
（1）求△ABC的面積f（θ）與正方形面積g（θ）；
（2）當(dāng)θ變化時(shí)，求
f(θ)g(θ)
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在Rt△ABC內(nèi)有一內(nèi)接正方形，它的一條邊在斜邊BC上，如圖所示．
（1）設(shè)AB=a，∠ABC=θ，求Rt△ABC的面積P和正方形的面積Q
（2）當(dāng)θ變化時(shí)，求
PQ
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，在Rt△ABC內(nèi)有一內(nèi)接正方形，它的一條邊在斜邊BC上，設(shè)AB=a，∠ABC=θ
（1）求△ABC的面積f（θ）與正方形面積g（θ）；
（2）當(dāng)θ變化時(shí)，求
f(θ)
g(θ)
的最小值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年廣西賀州高級中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖所示，在Rt△ABC內(nèi)有一內(nèi)接正方形，它的一條邊在斜邊BC上，設(shè)AB=a，∠ABC=θ
（1）求△ABC的面積f（θ）與正方形面積g（θ）；
（2）當(dāng)θ變化時(shí)，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年江西省新余一中高一（下）第一次段考數(shù)學(xué)試卷（4月份）（解析版） 題型：解答題

如圖所示，在Rt△ABC內(nèi)有一內(nèi)接正方形，它的一條邊在斜邊BC上，設(shè)AB=a，∠ABC=θ
（1）求△ABC的面積f（θ）與正方形面積g（θ）；
（2）當(dāng)θ變化時(shí)，求的最小值．

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