Question

在平行四邊形ABCD中，設邊AB、BC、CD的中點分別為E、F、G，設DF與AG、EG的交點分別為H、K，設

AB

=

a

，

BC

=

b

，試用

a

、

b

表示

GK

、

AH

．

Answer 1

分析：本題是向量伯一道綜合題，需要綜合運用平面向量的加減法與向量的數(shù)乘運算來達到用兩個基向量

a

、

b

表示

GK

、

AH

的目的，所研究的兩個向量與兩個基向量不在一個三角形中，故需要先用根據(jù)圖形用與它們共線的向量將它們表示出來，然后再用兩個基向量表示．

解答：解：如圖所示，因為AB、BC、CD的中點分別為E、F、G，
所以

GK

=

GD

+

1

2

DF

=

GD

+

1

2

（

CF

-

CD

）
=-

1

2

a

+

1

2

（-

1

2

b

+

a

）=-

1

4

a

-

1

4

b

．（5分）
因為A、H、G三點共線，
所以存在實數(shù)m，使

AH

=m

AG

=m（

b

+

1

2

a

）=m

b

+

1

2

m

a

；
又D、H、F三點共線，
所以存在實數(shù)n，使

DH

=n

DF

=n（

a

-

1

2

b

）=n

a

-

1

2

n

b

．
因為

AD

+

DH

=

AH

，所以(1-

n

2

)

b

+n

a

=m

b

+

m

2

a

（10分）
因為a、b不共線，
∴1-

n

2

=m且n=

m

2

解得m=

4

5

，
即

AH

=

4

5

（

b

+

1

2

a

）=

2

5

a

+

4

5

b

．（14分）

點評：本題考點是向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，考查了向量的三角形法則與向量數(shù)乘的幾何意義，本題是向量的運算法則的綜合運用，要注意結(jié)合圖形依據(jù)向量的相關(guān)的知識進行正確轉(zhuǎn)化，當畫圖時必畫圖．