已知函數(shù)y=f(x)是定義在區(qū)間[-,]上的偶函數(shù),且
x∈[0,]時(shí),
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若矩形ABCD的頂點(diǎn)A,B在函數(shù)y=f(x)的圖像上,頂點(diǎn)C,D在x軸上,求矩形ABCD面積的最大值.
(1) (2)6
【解析】本題主要考查了分段函數(shù)、函數(shù)的最值及其幾何意義及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,屬于中檔題.
(1)欲求函數(shù)f(x)的解析式,只須求出函數(shù)f(x)在x∈[- ,0]時(shí)的解析式即可,利用函數(shù)的偶函數(shù)性質(zhì)即可由y軸右側(cè)的表達(dá)式求出在y軸左側(cè)的表達(dá)式.最后利用分段函數(shù)寫(xiě)出解析式即可.
(2)設(shè)A點(diǎn)在第一象限,坐標(biāo)為A(t,-t2-t+5),利用對(duì)稱(chēng)性求出B點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求出矩形ABCD面積,最后利用導(dǎo)數(shù)求出此面積表達(dá)式的最大值即可.
解(1)當(dāng)x∈時(shí),-x∈.
∴.又∵f(x)是偶函數(shù),
∴.
∴.
(2)由題意,不妨設(shè)A點(diǎn)在第一象限,
坐標(biāo)為(t,-t2-t+5),其中t∈
由圖象對(duì)稱(chēng)性可知B點(diǎn)坐標(biāo)為.
則S(t)= =
s′(t)=.由s′(t)=0,得(舍去),.
當(dāng)0<t<1時(shí),s′(t)>0;t>1時(shí),s′(t)<0.
∴S(t)在(0,1]上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
∴當(dāng)t=1時(shí),矩形ABCD的面積取得極大值6,
且此極大值也是S(t)在t∈上的最大值.
從而當(dāng)t=1時(shí),矩形ABCD的面積取得最大值6.
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C、2011 | D、4020 |
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