Question

已知函數(shù)y=f(x)是定義在區(qū)間［-，］上的偶函數(shù)，且

x∈［0，］時(shí)，

（1）求函數(shù)f(x)的解析式；

（2）若矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B在函數(shù)y=f(x)的圖像上，頂點(diǎn)C，D在x軸上，求矩形ABCD面積的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1） （2）6

【解析】本題主要考查了分段函數(shù)、函數(shù)的最值及其幾何意義及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，屬于中檔題．

（1）欲求函數(shù)f（x）的解析式，只須求出函數(shù)f（x）在x∈[- ，0]時(shí)的解析式即可，利用函數(shù)的偶函數(shù)性質(zhì)即可由y軸右側(cè)的表達(dá)式求出在y軸左側(cè)的表達(dá)式．最后利用分段函數(shù)寫(xiě)出解析式即可．

（2）設(shè)A點(diǎn)在第一象限，坐標(biāo)為A（t，-t²-t+5），利用對(duì)稱(chēng)性求出B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出矩形ABCD面積，最后利用導(dǎo)數(shù)求出此面積表達(dá)式的最大值即可．

 解（1）當(dāng)x∈時(shí)，-x∈．

∴．又∵f（x）是偶函數(shù)，

∴．

∴.

 （2）由題意，不妨設(shè)A點(diǎn)在第一象限，

坐標(biāo)為（t，-t2-t+5），其中t∈

由圖象對(duì)稱(chēng)性可知B點(diǎn)坐標(biāo)為．

則S（t）=  =

s′（t）=．由s′（t）=0，得（舍去），．

當(dāng)0＜t＜1時(shí)，s′（t）＞0；t＞1時(shí)，s′（t）＜0．

∴S（t）在（0，1]上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

∴當(dāng)t=1時(shí)，矩形ABCD的面積取得極大值6，

且此極大值也是S（t）在t∈上的最大值．

從而當(dāng)t=1時(shí)，矩形ABCD的面積取得最大值6．