Question

7．已知二項(xiàng)式（1+xcosθ）⁵的展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)與（x+5sinθ）³的展開式中第二項(xiàng)的系數(shù)相等，其中θ為銳角，則cosθ=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

Answer 1

分析 二項(xiàng)式（1+xcosθ）⁵的展開式中第三項(xiàng)為T₃=${∁}_{5}^{2}（xcosθ）^{2}$，可得系數(shù)為cos²θ${∁}_{5}^{2}$．（x+5sinθ）³的展開式中第二項(xiàng)為：${∁}_{3}^{1}{x}^{2}（5sinθ）^{1}$=5sinθ${∁}_{3}^{1}$x²，其系數(shù)為：15sinθ．利用系數(shù)相等即可得出．

解答 解：二項(xiàng)式（1+xcosθ）⁵的展開式中第三項(xiàng)為T₃=${∁}_{5}^{2}（xcosθ）^{2}$=cos²θ${∁}_{5}^{2}$x²，其系數(shù)為cos²θ${∁}_{5}^{2}$，即10cos²θ．
（x+5sinθ）³的展開式中第二項(xiàng)為：${∁}_{3}^{1}{x}^{2}（5sinθ）^{1}$=5sinθ${∁}_{3}^{1}$x²，其系數(shù)為：15sinθ．
∴10cos²θ=15sinθ，化為2sin²θ+3sinθ-2=0，其中θ為銳角，
解得sinθ=$\frac{1}{2}$
則cosθ=$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．