Question

已知橢圓C：的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂點A在橢圓C上，=0，，，過點F₂且與坐標軸不垂直的直線交橢圓于P，Q兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）線段OF₂上是否存在點M（m，0），使得若存在，求出實數(shù)m 的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用，可得∠AF₁F₂=90°．由已知，利用夾角公式可得cos∠F₁AF₂=．又=2，解得，．即可得到2a==4，c=1，即可得到b²=a²-c²，進而得到橢圓方程；
（II）存在這樣的點M符合題意．設(shè)線段PQ的中點為N，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x，y），直線PQ的斜率為k（k≠0），注意到F₂（1，0），則直線PQ的方程為y=k（x-1），與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用中點坐標公式即可得到點N，再利用向量可得，因此PQ⊥MN，利用k•k_MN=-1即可得到m與k的關(guān)系．
解答：解：（Ⅰ）∵，∴∠AF₁F₂=90°．
∵，∴cos∠F₁AF₂=．
又=2，解得，．
∴2a==4，
∴a=2，c=1，b²=a²-c²=3，
即所求橢圓方程為．
（Ⅱ） 存在這樣的點M符合題意．
設(shè)線段PQ的中點為N，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x，y），
直線PQ的斜率為k（k≠0），
注意到F₂（1，0），則直線PQ的方程為y=k（x-1），
由消去y得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
所以，
故，y=k（x-1）=．
又點N在直線PQ上，所以N，
由可得，
∴PQ⊥MN，∴k_MN=，
整理得=，
所以，在線段OF₂上存在點M（m，0）符合題意，其中．
點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標公式、向量的數(shù)量積運算等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力．