14.已知圓E:(x+1)2+y2=16,點F(1,0),P是圓E上任意一點,線段PE的垂直平分線和半徑PE相交于Q.
(1)求動點Q的軌跡Γ的方程;
(2)點C(1,$\frac{3}{2}$),直線l的方程為x=4,AB是經(jīng)過F的任一弦(不經(jīng)過點C),設直線AB與直線l相交于點M,記CA、CB、CM斜率分別為k1、k2、k3,且存在常數(shù)λ,使得k1+k2=λk3,求λ的值.

分析 (1)由題意可知:圓E:(x+1)2+y2=16的圓心E(-1,0),半徑為4,連結QF,根據(jù)題意,|QP|=|QF|,|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4,動點Q的軌跡Γ是以E(-1,0),F(xiàn)(1,0),為焦點,長軸長為4的橢圓,即可求得a和b的值,求得動點Q的軌跡Γ的方程;
(2)直線AB的方程為y=k(x-1),代入橢圓方程,由韋達定理可知:x1+x2=$\frac{8km}{4{k}^{2}+3}$,x1x2=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$,則k1+k2=$\frac{{y}_{1}-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{k({x}_{1}-1)-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{k({x}_{2}-1)-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$,利用韋達定理代入即可求得k1+k2=2k-1,當x=4,代入y=k(x-1),y=3k,求得M坐標,則k3=$\frac{3k-\frac{3}{2}}{3}$=k-$\frac{1}{2}$,因此k1+k2=2k3,即可求得λ的值.

解答 解:(1)圓E:(x+1)2+y2=16的圓心E(-1,0),半徑為4,
連結QF,根據(jù)題意,|QP|=|QF|,
則|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4,
故動點Q的軌跡Γ是以E(-1,0),F(xiàn)(1,0),為焦點,長軸長為4的橢圓.     (2分)
設橢圓方程為:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$(a>b>0),
∴a=2,c=1,
∴b2=a2-c2=3,(3分)
∴點Q的軌跡Γ的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$.                                (5分)
(2)設直線AB的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k(x-1)}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$,整理得:(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,
由韋達定理可知:x1+x2=$\frac{8km}{4{k}^{2}+3}$,x1x2=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$,(7分)
由k1+k2=$\frac{{y}_{1}-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{k({x}_{1}-1)-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{k({x}_{2}-1)-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$,
=2k-$\frac{3}{2}$($\frac{1}{{x}_{1}-1}$+$\frac{1}{{x}_{2}-1}$)=2k-$\frac{3}{2}$•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2}{{x}_{1}{x}_{2}-({x}_{1}+{x}_{2})+1}$,
=2k-$\frac{3}{2}$•$\frac{\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}-2}{\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}-\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}+1}$=2k-1,(10分)
又將x=4,代入y=k(x-1),y=3k,
∴M(4,3k)
由k3=$\frac{3k-\frac{3}{2}}{3}$=k-$\frac{1}{2}$,
∴k1+k2=2k3,
故存在常數(shù)λ=2符合題意.                  (12分)

點評 本題考查橢圓的定義及標準方程,考查直線與橢圓的位置關系,考查直線的斜率公式與韋達定理的應用,考查計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

4.函數(shù)f(x)=Asin(ωx-$\frac{π}{3}$)+2(A>0,ω>0)的最大值為4,其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)設α∈(0,π),則f($\frac{α}{2}$)=3,求α的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

5.函數(shù)f(x)=sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x,則f($\frac{π}{24}$)=( 。
A.-$\frac{\sqrt{2}}{2}$B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$C.$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$D.$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

2.一只螞蟻在一直角邊長為1m的等腰直角三角形ABC(∠B=90°)內(nèi)隨機爬行,則螞蟻距A點不超過1m的概率為$\frac{π}{4}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

9.不等式$\frac{1}{x-1}$<-1的解集為(0,1).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

19.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0<φ<$\frac{π}{2}$)的周期為π,且圖象上有一個最低
點為M($\frac{2π}{3}$,-3).
(1)求f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

6.已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E、M、N分別是BC、AE、D1C的中點,AD=AA1,AB=2AD
(Ⅰ)證明:MN∥平面ADD1A1
(Ⅱ)求直線AD與平面DMN所成角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

3.已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)經(jīng)過點P(-2,0)與點(1,1).
(1)求橢圓的方程;
(2)過P點作兩條互相垂直的直線PA,PB,交橢圓于A,B.
①證明直線AB經(jīng)過定點;
②求△ABP面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

4.已知函數(shù)f(x)=-x2+2|x|.
(Ⅰ)判斷并證明函數(shù)的奇偶性;
(Ⅱ)寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間(不需證明);
(Ⅲ)求f(x)在[-3,2]上的最大值和最小值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案