Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*）．f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足：．證明：數(shù)列中任意不同三項(xiàng)不能構(gòu)成等差數(shù)列；
（2）當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，證明：當(dāng)x＞0時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)n都有[f′（x）]ⁿ-2^n-1f′（x）≥2ⁿ（2ⁿ-2）成立．

Answer 1

證明：（1）當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，f（x）=x²-2lnx，f′（x）=2x-=，f′（a_n）=
由已知，得出2（-1）=-3，
∴+1=2（+1），數(shù)列{+1}是以2為公比，以=2為首項(xiàng)的等比數(shù)列．
∴+1=2•2^n-1=2ⁿ，=2ⁿ-1，
假設(shè)數(shù)列中存在不同三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，不妨設(shè)r＜s＜t，則，即2（2^s-1）=2^r-1+2^t-1，2^s+1=2^r+2^t，2^s-r+1=1+2^t-r
又s-r+1＞0，t-r＞0，
∴2^s-r+1為偶數(shù)，1+2^t-r為奇數(shù)，矛盾．故假設(shè)不成立．因此數(shù)列中任意不同三項(xiàng)不能構(gòu)成等差數(shù)列．
（2）當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，f（x）=x²+2lnx，f′（x）=2x+=2（），即證-2^n-1•2（）≥2ⁿ（2ⁿ-2）
即證-（）≥2ⁿ-2．
證法一：由二項(xiàng)式定理，即證+++…≥2ⁿ-2
設(shè)S_n=+++…，
又S_n=++…++．
兩式相加，得出2S_n=++…+
≥2（）=2（2ⁿ-2）．
∴S_n^≥2ⁿ-2．
證法二：數(shù)學(xué)歸納法
當(dāng)n=1時(shí)，左邊=0，右邊=0，不等式成立．
設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)成立．即-（）≥2^k-2成立，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，-（）=-（）
≥[（2^k-2）+（）]-（）
=（2^k-2）++x^k-1+-（）
=（2^k-2）+x^k-1+
≥（2^k-2）•2+2
=2^k+1-2
即當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立．
綜上所述，對(duì)任意正整數(shù)n不等式成立．
分析：（1）當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，由已知，得出2（-1）=-3，整理構(gòu)造得出數(shù)列{+1}是以2為公比，以=2為首項(xiàng)的等比數(shù)列，求出=2ⁿ-1，假設(shè)數(shù)列中存在不同三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，不妨設(shè)r＜s＜t，則①，考察①是否有解，作出解答．
（2）當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，原不等式化為-2^n-1•2（）≥2ⁿ（2ⁿ-2）．可以利用二項(xiàng)式定理，結(jié)合倒序相加法，基本不等式進(jìn)行證明，或者用數(shù)學(xué)歸納法證明．
點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)、數(shù)列、不等式的綜合．考查數(shù)列通項(xiàng)公式求解，不定方程解的討論，不等式的證明方法．用到了構(gòu)造轉(zhuǎn)化、基本不等式、數(shù)學(xué)歸納法等知識(shí)方法．運(yùn)算量較大，是容易出錯(cuò)的地方．