Question

11．等差數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，其前n項和為S_n，且a₃+a₅=a₄+7．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求滿足不等式S_n＜3a_n-2的n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差數(shù)列{a_n}的通項公式求出公差d=2，由此能求出a_n．
（Ⅱ）由a₁=1，a_n=2n-1，求出${S_n}=\frac{{{a_1}+{a_n}}}{2}n={n^2}$，由此能求出滿足不等式S_n＜3a_n-2的n的值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d．…．（1分）
因為a₃+a₅=a₄+7，所以2a₁+6d=a₁+3d+7．…．（3分）
因為a₁=1，所以3d=6，即d=2，…．（5分）
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．…．（7分）
（Ⅱ）因為a₁=1，a_n=2n-1，所以${S_n}=\frac{{{a_1}+{a_n}}}{2}n={n^2}$，…．（9分）
所以n²＜3（2n-1）-2，所以n²-6n+5＜0，…．（11分）
解得1＜n＜5，所以n的值為2，3，4．…．（13分）

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查滿足不等式的值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列性質(zhì)的合理運用．