Question

在下列四個(gè)函數(shù)中，滿足性質(zhì)：“對(duì)于區(qū)間（1，2）上的任意x₁，x₂（x₁≠x₂），|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₂-x₁|恒成立”的只有（　�。�

• A、f(x)=

  1

  x

• B、f（x）=|x|
• C、f（x）=2x
• D、f（x）=x²

Answer 1

分析：首先分析題目要求選擇滿足：“對(duì)于區(qū)間（1，2）上的任意實(shí)數(shù)x₁，x₂（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|恒成立”的函數(shù)．故可以把4個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)分別代入不等式|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|分別驗(yàn)證是否成立即可得到答案．

解答：解：在區(qū)間（1，2）上的任意實(shí)數(shù)x₁，x₂（x₁≠x₂），分別驗(yàn)證下列4個(gè)函數(shù)．
對(duì)于A：f(x)=

1

x

，|f（x₂）-f（x₁）|=|

1

x1

-

1

x2

|=|

x2-x1

x1x2

|＜|x₂-x₁|（因?yàn)閤₁，x₂在區(qū)間（1，2）上，故x₁x₂大于1）故成立．
對(duì)于B：f（x）=|x|，|f（x₂）-f（x₁）|=||x₂|-|x₁||=|x₂-x₁|（因?yàn)楣蕏₁和x₂大于0）故對(duì)于等于號(hào)不滿足題意，故不成立．
對(duì)于C：f（x）=2x，|f（x₂）-f（x₁）|=2|x₂-x₁|＞|x₂-x₁|．不成立．
對(duì)于D：f（x）=x²，|f（x₂）-f（x₁）|=|x₂²-x₁²|=（x₂+x₁）|x₂-x₁|＞|x₂-x₁|不成立．
故選擇A．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查絕對(duì)值不等式的應(yīng)用問題．對(duì)于此類型的題目需要對(duì)題目選項(xiàng)一個(gè)一個(gè)做分析，然后用排除法作答即可．屬于中檔題目．